44 RolfNevanlinna. 



abzuschätzen, bemerke man, dass jü ein innerer Winkel von ß' ist und dass also eine positive 

 Zahl r] existiert, so dass smlif>7j für jeden Punkt ;r = re'> des Winkels ß ist. Es ist also: 



(37) ^mß{r)<b{r; oo)<. m-i(r) + log Ma (r). 



Weil nun rriß von der Ordnung r'- (h 'r k) ist, Wcährend log ilf„ höchstens der Ordnung r* ist, so 

 folgt, dass auch h (r; oo) von der Ordnung r'' ist. Schliesslich ist p (r; oo) = und es geht also her- 

 vor, dass die Ordnung der Summe 



I TT 



a (r ; oo) + a(re ' ; oc) + b (r ; oo) + c (r ; oo) 



gleich h ist. Gemäss der Ungleichung (35) ist aber ^ ^"^ >'(=2^i)' ""^^ ^^'i'' sclüiessen, dass 

 auch die Ordnung der Funktion f im Winkelraum ß' gleich h ist (S. 12). 

 Ich behaupte nun, dass das Integral 





ojrjï) + a (re' ; z)+c (r; z) 



r 



jc+1 dr 



für die zwei Werte 2 = und s = co konvergent ist. Um dies einzusehen, genügt es zu bemer- 

 ken, dass das Integral (36) für diese Werte z konvergiert, dass c(r;co) = und dass die Reihe 

 (32) nach Voraussetzung konvergent ist. Ferner ist die Ordnung h > l der Funktion / im Winkel- 

 raum ß' der Öffnung ^ kein Multipel von l. Aus Satz 1 (S. 39) folgt dann zunächst, das« 

 notvendigerweise /i = fc, und aus Satz 2 (S. 41) weiter, dass das Integral 



CO 



^^p^dr 



konvergieren muss. Gemäss der Ungleichung (37) ist aber dann auch 



dr 



I 



mß{r) 



/■ + r 



konvergent, und die behauptete Konvergenz des Integrals (34) ergibt sich durch die Erwägung, 

 welche am Anfang dieses Beweises angestellt wurde. ') 



Von besonderem Interesse ist folgendes unmittelbare Korollar des obigen Satzes: 

 Sei f{x) eine ganze Funktion von ganzzahliger Ordnung q 'und das Integral 



log M (r) 



divergent. Wenn die Beihe 

 konvergiert, so ist das Integral 



1\3 



M Wir haben den obigen Satz nur im Falle k > 1 bewiesen. Tatsächlich ist er auch für k < 1 gültig, 

 der Beweis lässt sich in analoger Weise, wie oben, unter Anwendung des Satzes 1, S. 31 führen. 



Tom. L. 



