VORWORT. 



Die angenäherte Integration hat, besondei"s in der letzten Zeit, ein ausgedehntes Anwen- 

 dungsgebiet innerhalb der «xakten Wissenschaften und der Technik gefunden. Nicht nur in 

 Fällen, wo die Integralfunktionen unbekannt sind, ist man auf Näherungsverfahren angewiesen, 

 sondern es kommt auch vor, dass die theoretisch entwickelten Integrale derart kompliziert 

 sind, dass man für praktische Zwecke Approximationen vorziehen wird. 



Der Zweck der vorliegenden Abhandlung ist, die wichtigsten Methoden der numerischen 

 Integralion von Differentialgleichungen darzustellen. Unsere Abhandlung gehört somit der an- 

 gewandten Mathematik an. 



Im ersten Abschnitt derselben wird die Rungesche Integrationsmethode auseinandergesetzt, 

 welche die meistens sehr mühsamen Reihenentwicklungen zu ersetzen bestimmt ist. Da bis 

 jetzt die direkte Anwendung der Rungeschen Methode auf den wichtigen Fall von Differential- 

 gleichungen zweiter Ordnung nicht behandelt war, haben wir hierüber eine eingehende Unter- 

 suchung angestellt. Als Ergebnis davon haben wir mehrere neue Formelsysteme gefunden, 

 welche die gleiche Approximation wie die früher bekannten mit bedeutend geringerem Arbeits- 

 aufwand erreichen lassen. 



Der zweite Abschnitt ist denjenigen Methoden gewidmet, die in der astronomischen Störungs- 

 rechnung ihr klassisches Vorbild haben. Einige der gebräuchlichsten Integrationsformeln nebst 

 ihren Restgliedern werden unabhängig voneinander durch Integration von bekannten Interpola- 

 tionsformeln abgeleitet. Auf diesem Wege hat z. B. J. C. Adams seine Integrationsformel 

 (s. S. 32) abgeleitet. Wir geben übrigens eine andere Formel (41), welche dieselben Differenzen 

 benutzt, wie die Adamssche, die sich aber durch bequemere Koeffizienten auszeichnet. Unsere 

 Formel ist ein Analogon zu der von C. Störmer aufgestellten, bequemen Formel (54) für die 

 zweifache Integration. Ferner werden die Verfahren der Fehlerabschätzung recht ausführlich 

 besprochen. 



Schliesslich wh'd im dritten Abschnitt die praktische Ausführung der numerischen Inte- 

 gration behandelt; die Vorschriften der verschiedenen Methoden werden miteinander verglichen 

 und durch Beispiele erläutert. Dabei wird auch die manchmal sehr nützliche »Methode der 

 sukzessiven Approximationen» berücksichtigt. 



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