Erster Abschnitt. 

 Über die Rungesche Integrationsmethode und darauf bezügliche Untersuchungen. 



§ 1. Integration von Differentialgleichungen nach den Methoden von Runge und Kutta. 



1. Wenn es sich darum handelt, den Verlauf einer durch einen gegebenen Anfangspunkt 

 {l,x) gehenden Integralkui've der Differentialgleichung 



(1) g = x' = /(t,x) 



analytisch zu verfolgen, liegt es sehr nahe, der unabhängigen Veränderlichen t einen Zuwachs 

 A< zu geben und die entsprechende Zunahme Aa; der gesuchten Funktion x zu berechnen. Man 

 gelangt so zu einem neuen Punkt der Integralkurve, von dem man wieder ausgeht, um einen 

 dritten aufzusuchen. Man kann auf diese Weise eine Reihe von Punkten der Lösungskurve be- 

 rechnnn, wobei die Differenz Ai der Abszissen zweier aufeinander folgenden Punkte, wenn man 

 will, bei jedem Schritt verschieden sein kann. 



Um Aa; zu berechnen, kann man die Taylorsche Reihe 



^''' ^^~ dt ^'+ dt' 2! + dt' 3! + 



benutzen, wobei die einzelnen Differentialquotienten sich nacheinander aus (1) ableiten lassen. 

 Durch Differentiation nach / wird nämlich erhalten 



d^x 



~dtJ~ 



df 



d'^_ = x'" = /;; + 2//;; + /=^/;'^ + /; /; + //;^ 



Es wird natürlich vorausgesetzt, dass die Taylorsche Reihe für die betrachteten Werte kon- 

 vergiert; wenn das aber der Fall ist, kann durch Berechnung genügend vieler Glieder derselben 

 Ax mit beliebiger Genauigkeit ermittelt werden. 



2. Die praktische Anwendung der eben geschilderten Methode stösst in den meisten Fällen 

 auf grosse Schwierigkeiten, weil die Ausdrücke für die höheren Differentialquotienten im allge- 

 meinen sehr kompliziert werden. 



