4 E. J. Nyström. 



Daher hat Runge ^ eine Methode gegeben, die später von Heun ^ und Kutta * vervollstän- 

 digt worden ist und welche gestattet, den Wert àx, bis auf Glieder einer gewissen Ordnung in 

 Ac, durch Berechnung einer Anzahl von "Werten der direkt durch die Differentialgleichung (1) 

 gegebenen Punktion / zu finden. Die Idee ist folgende: 



A:r wird als Mittelwert aus mehreren, mit geeigneten Gewichten a, h, o, d, . . . zu versehen- 

 den Werten ^'x (i = 1, 2, 3, . . .) bestimmt, die folgendermassen sukzessiv berechnet werden: 



A'x =f(t,x)M, 



A".T =/(< + zA(,.r + xA'j;)A«, 



A'".)- =/(H /Af,.(; + yA"»; +(Â-Q)à'x)M, 



A""r = f(t + iiM,x + <7à"'x + tA"x + (/j. - o ~ t) A'x) M, 



(3) 



Die hierbei auftretenden Grössen z , A , . . . , t sollen zusammen mit den Gewichten a. h, c, d, . . . 

 so bestimmt sein, dass die Entwicklung des Ausch'ucks 



(4) A;r = aA'x + hL"x + (;A"';,- f- rfA"".i; + • • • 



in mögUchst vielen Gliedern mit der Entwicklung (2) übereinstimmt. 



3. In seiner schon zitierten Abhandlung hat Kutta gezeigt, dass füi' Näherungen 2., 3. 

 und 4. Ordnung bzw. 2, 3 und 4 Funktionsberechnungeu nötig sind, und mehrere Formeln der 

 betreffenden Art aufgestellt. Eine von ihnen, die vier Funktionswerte benutzt und eine Genauig- 

 keit von der vierten Ordnung gibt, lautet 



A';r =f(t,x}M, 



(5) 



A".,: =f{t+'lM,x + l,à' x)M, 



.,At,:r + ^A" .,)Af, 



f(t 



A"" 



A.T 



:r = fit+ A «,./•+ A'" a) A«, 

 1 



= g[A'.r + 2A"a; + 2A"':r+ A"".r|. 



Sie hat sich für die praktische Rechnung als besonders brauchbar erwiesen und hat unter dem 

 Namen der »Runge-KuttascJien Formeh) in vielen Lehrbüchern Aufnahme gefunden. 



Wünscht man die Glieder der Taylorschen Reihe (2) bis zur fünften Ordnung einschliesslich 

 richtig darzustellen und benutzt man zu diesem Zweck fünf Funktionswerte, so stehen nach (3) 

 im ganzen 15 Zahlenkoeffizienten zur Verfügung, während die Anzahl der mit ihnen zu erfüllen- 

 den Bedingungen gleich 16 wird. Die grosse Zahl der letzteren erklärt sich folgendermassen: 

 Sollen die beiden Ausdrücke (2) und (4) bis zu den Ghedern einer gewissen Ordnung in A( für 



^ Runge, Math. Ann. 46 (1895). S. 167 — 78. Seine Formeln können ebenso wie (5) und (7) als Erweite- 

 rungen der »Simpsonschen Regel» autgefasst werden. 



2 Heun, Zeitschr. Math. Phys. Bd. 45 (1900). S. 23—38. 



* Kutta, Ebenda, Bd. 46 (1901). S. 435—52. Erst hier findet sich der vollständige Ansatz (3). Litera- 

 turangaben über die früheren Formeln sowie über den ganzen Gegenstand überhaupt enthält RuNC.E-WiLLERb: 

 Numerische und graphische Quadratur und Integration gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen in 

 Enc. math. Wiss. II. C. 2. S. 148 — 50. 



Tom. L. 



