über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 



beliebige Funktionen f{t.x) übereinstimmen, so müssen nicht nur die Koeffizienten gleicher 

 Potenzen von M einander gleich sein, sondern innerhalb dieser Ausdi'ücke auch die Teile, die 

 in den partiellen Ableitungen gleich gebildet sind. Die beiden ersten Potenzen liefern je eine 

 Grleichung. Die dritte Potenz liefert jedoch zwei, die vierte vier und die fünfte Potenz endlich 

 acht Gleichungen; im ganzen also für eine Näherung fünfter Ordnung 16 Bedingungsgleichungen. 

 Diese lassen sich nun mit 15 Unbekannten nicht befriedigen, es sei denn, dass sie voneinander 

 abhängig wären. Ob dem so ist, lässt sich wahrscheinlich erst dui'cli sehr lange Rechnungen fest- 

 stellen, und die Frage ist unentschieden. Sehr wichtig ist die betreffende Untersuchung nicht, 

 denn aus den Bedingungsgleichungen ist zu ersehen, dass die zugehöi'jge Formel, — wenn sie 

 wirklich existierte — , mit unbequemen Koeffizienten versehen wäre und nur einen geringen 

 praktischen Wert besässe. 



KuTTA gibt noch zwei Formelsysteme an, die sechs Funktionswerte benutzen und eine Appro- 

 ximation fünfter Ordnung ergeben. Aus irgendeinem Grunde ist das zweite von ihnen fehlerhaft; 

 es soll so lauten (wenn wir /, x statt x, y schreiben): 

 A'.T = f(t,x)M, 



2A« 



A".r = /(t + 



A X = fU + -^- ,X-i 



A"":r= /(m-A(, x + 

 A^;r = /(t + 

 A^ix = /( 



A.r = 



)a«, 



3 



i"j" + 4 i' j 

 25 

 15 ^"'x - 12 l"x 



)At, 



JA«, 



2A^i 

 "3 

 4A< 

 5- 



X + 



,X + 



SA^^'Vx^^öOA^ 4-90A"a ; + 6 ^'x 

 81 

 X + 10 A'I^B + 36 Å"a- + 6 A'a- 



8A" 



)a«, 



)At, 



23 A'a; + 125 A"'.-c - 81 A^'a: + l25A'^'a- * 



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4. Runge hat bemerkt ^, dass sein Verfahren auch auf Systeyne von simultanen Differential- 

 gleichungen angewandt werden kann, und Kutta zeigte «, dass seine Formeln für jedes solche 

 System gelten, bei dem die Anzahl der Gleichungen gleich derjenigen der gesuchten Funktionen 

 ist. Man lässt nur jede Funktion auf dieselbe Weise wie x in die Formeln eintreten, und es zeigt 

 sich, dass die Ordnung der Näherung für jede Funktion dieselbe wird, als wenn es sich um eine 

 einzelne Gleichung für diese handelte. 



So lässt sich z. B. das System 



(6) 



jl = '^ = h(t,x, u), 

 du 



-/7 = M = fit,X,U), 



falls die Anfangswerte von l. x. u gegeben sind, mit der aus (6) durch Verallgemeinerung entstan- 

 denen Formel 



^ Bei Kutta steht 



A^-'.-/-(i+^S 



^ ^ 4 A""a: - 5 A"'a; + 18 \"x 4- 7 ^'x \ ^ ^ ^^_ 48 A'a: + 125 A"'x -81 A'^r + 100 A '^ V 



5 ' 30 



" In dem unter '■ genannten Aufsatz, S. 172 If 

 * Emden: Gaskugeln, Leipzig 1907, S. 92 ff. 



N:o 13. 



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