E. J. Ntstböm. 



(7) 



A' a: --^ h(t ,x,u)ài , 



A".r =hit + lM,x+^ùi' x,^l+l^' u)M. 



^'u ^ f{t,x,u)ùit, 



A" a = f{t + lM, x + l^' x,u + l^' u)M, 



A"'r =/Mf.+ J-Aj,j- + ,U".'-,tt+^A" H) M, A"'tt = /(( + .' At, a- + ^ A" x, w + .U" w)Af, 



A"".,- ^h{t+ M,x+ A"';r , u + A'" u)M, 

 Ax = 1 1 A'.t + 2 A"x + 2 A"'-r + A""./-], 



A""it = /(M A(, x+ A"'x,u+ A"''«)At, 



Aw 



JA'm + 2 A"« -r 2 A"'w + A""w] 



integrieren, und zwar wird dadurch eine Approximation vierter Ordnung sowohl in x als u erhal- 

 ten. Dabei werden für jede Funktion vier Funktionswerte berechnet. 



5. Bekanntlich lässt sich eine Differentialgleichung höherer Ordnung sowie ein System 

 solcher, auf ein Normalsystem zurückführen (die Gleichungen (ö) bilden ein solches mit zwei Funk- 

 tionen), indem man die höheren Ableitungen als neue Funktionen bezeichnet. In der Praxis kann 

 es jedoch unter Umständen vorteilhafter sein, die genannte Zurückführung in anderer Weise zu 

 bewerkstelligen. 



Wenn also die Anlangswerte der Funktionen und ihi-er Ableitungen gegeben sind, kann auch 

 ein System höherer Ordnung mittels der Formeln Kuttas integriert werden. Werden z. B. die 

 Formeln (7) auf ein System von Gleichungen zweiter Ordnung 



(8) 



x"= f(t,x,y,...,u,r, ...}, x'= M 

 y" = git,x,y u,v, .. .), y' = V 



angewandt, so nehmen sie folgende Gestalt an, wenn man sie für- zwei Funktionen (x, y) aus- 

 schreibt: 



A'.T 



(9) 



wAt, 



A'w = f{t,x,y,u,v)M, 



A"x '={u + Ia' u)M, A"w = /(t + .^At,;j; + ^A' x.y + ^A' y^u + ^à' m, w + .^A' v) M, 

 A"'.r =(u + },A" u)At, A"'h = f [t +làt, x + Ia" x .y + ^A" y ,u + Ia" u. v + \a" v) M, 

 A"",r=(w+ A"'u)A(, A""M=/(f+ At,x+ A"'x,y+ A"'y,u+ A"'u,v+ A"'v)At, 



A'y = iiA(, A'v = g(t,x,y,u,v)Al, 



A"y ={v + Ia' v)At, A"v = g{t + lAt, x + Ia' x, y i-^A' y ,u + l,A' u, v + Ia' v) At , 



A'"?/ ={v + ^^A" v)Al, A"'v =g{t + lAt,x + lA" x,y + lA" y,u + lA"u,v + lA" v)At, 



A""y = (u+ A"'î;)At, A""v = g(t+ Al,x+ A"'x,y+ A"'y,u+ A"'u,v+ A"'v)At 



Ax = l[A'x + 2 A"x + 2 A"'x + A""x], A« = J \A'u + 2 A"u + 2 A"'u + A""m], 

 Ä2/ = g [A'y + 2 A"y + 2 A"'y + A""?/| . Av ^\ [A'v + 2 A"v + 2 A"'v + A"" r] . 



Die erste Gruppe dieser Formeln gibt nebst den Ausdrücken für A.t und Au die Vorschrift 

 zur Integration der Differentialgleichung x" = f{t,x,u). Der Vergleich mit (7) lässt erkennen, 

 dass eine Differentialgleichung zweiter Ordnung sich mit viel geringerer ilühe integrieren lässt 

 als ein System von zwei simultanen Gleichungen der ersten Ordnung, was darauf beruht, dass 



Tom. L. 



