(jl)er die mimerische Integration non Diff'orentialgleichung.eyi 7 



die Berechnung der Punktion Ii hmn Übergang auf (9) ganz fortfällt. Entsprechendes gilt für 

 den Fall mehrerer Gleichungiai. 



Bisweilen, etwa wenn / oder g grosse Werte annehmen, kaim es vorteilhaft sein, die oben 

 angegebenen Formeln nicht direkt anzuwenden, sondern zuerst einen Wechsel der unabhängigen 

 Veränderlichen vorzunehmen. 



§ 2. Allgemeiner Ansatz für Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 



6. Auf obige Angaben (nebst Bemerkungen über die praktische Benutzung der Formeln) 

 beschränken sich sämtliche, uns bekannte Darstellungen der Kuuge-Kuttascheu Methode. 



Der Umstand, dass im Normalsystem (8) die Hälfte der Gleichungen von ausserordentüch 

 einfachem Bau ist, gibt jedoch zu der Vermutung Anlass, es gäbe möglicherweise Formeln, die 

 speziell für dieses System eine bequemere Integration gestatteten oder etwa, bei dem gleichen 

 Arbeitsaufwand, eine bessere Approximation Heferten als die Formel (9). Füi' Differentialglei- 

 chungen höherer als zweiter Ordnung ist diese Vermutung noch mehr berechtigt. 



Wir beschränken die Untersuchung indessen auf beliebige Systeme von Differentialgleichungen 

 zweiter Ordnung, die weitaus das grösste Interesse bieten, insbesondere durch ihr häufiges Auf- 

 treten in der Astronomie, der Physik und der Technik. 



Wenn die Integration von (8) mittels (9) ausgeführt wird, werden die Grössen A"», \" i\ . . . 



mit den Werten 



a;, =a; + AiA'a;; t/i = y + A, A'j/; . . ., 



(wo /1 = 9) berechnet. Es sind aber die Grössen A"a;, A"y, . . . schon bekannt oder sie können 



wenigstens vor A"u, ^"v, . . . ermittelt werden; daher hätte man allgemeiner setzen können 



A"m = /(( + dat, -T + à^x, y + ô^y, . . .,u + '12'^, v + à2V, . . .) At, wo 



(10) ^.,t = x^^t,Ô2x = {^l-^^l)^'x + ^>l^"x,Ô2y = (/^l-/|^}^'y + ^,^^"y, . . ., 



Ô^U = ?.il^'u, Ô2V = A^à'v, . . . 



und analog für \"v wodurch ein neuer Parameter gewonnen wäre. 



Weil aber die A'x, A'y, . . ., (i = 1, 2, 3, . . .) lineare Funktionen von m, A'm, A'v, . . ., 

 {>• = 1.2. . . .i~ 1) sind, erscheint es natürlicher, doX, d^y. . ■ . mit Hilfe der letzteren aus- 

 zudrücken. Wir schreiben daher statt (10) 



(11) (»2« =/A(, Ô2X = [Xu + pA'wJ Ai, Ô2y = \Xv + yà'v\At. . . ., ô^u = AA'm, ô^v = AA'v, . . . 



Nach diesem Gesichtspunkt werden wir nun einen allgemeinen Ansatz aufstellen, indem wir 

 unter den Funktionszeichen lineare Verbindungen aus möglichst vielen der Grössen ^''^{,, A'u, . . . 

 in Betracht ziehen. Dadurch wird eine grössere Zahl von unbestimmten Koeffizienten hinein- 

 gezogen, als es bei dem Kuttaschen Ansatz der Fall ist. 



Um konsequent zu sein, müssten wir A'» so ansetzen 



(12) A'm = /({ + xM, X + xuàt, y + y.vAt., . . .,u, v, . . .) åt 



und ähnlich für A'c, . . . Das wollen wir jedoch nicht tun, sondern berechnen zuerst ebenso wie 

 KuTTA die Funktionen f, g, . . . mit den Anfangswerlen von t, x, y, . . ., u, v, . . . Erstens ]iann 

 es nämlich vorteilhaft sein, die Funktionswerte gerade in den Anfangs- und Endpunkten der Inter- 



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