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über die numerische Integration von Differentialgleichunff.en. 9 



Die Grössen Asc, ^y, . . ., Am, Av, . . . bildet Kutta als Mittelwerte und wendet jedesmal 

 dieselben. Gewichte a,b,c, . . . an. Dagegen setzen wir 



) Ao; = [tt + a A'w + i à"u + c A"'m + d A""m + e A''u + • • -J A( 

 I Att= a'A'u + &'A"w + c'A"'M + d'A""M + e'AVu+.-. 



'^** ^ ^y=\v-\ a å'v + b ^"v + c à"'v + d à.""v + e A^'v + ---]At 



lAv= a'A'u +&'A"w + c'A"'v +d'A""v + e'A^'u+---, ; 

 t 



indem wir also neue, passend zu bestimmende Koeffizienten hineinziehen. 



§ 3. Aufstellung der Bedingungsgleichungen. 



8. Die folgenden Entwicklungen werden wir so gestalten, dass sie für ein aus beliebig vielen 

 Gleichungen bestehendes System (8) gelten. Es wird jedoch genügen, die Formeln für nur zwei 

 Fimktionen x, y hinzuschreiben, denn daraus geht schon die allgemeine Form der Ausdrücke 

 hervor. 



Zunächst müssen wir die Taylorschen Reihen der Funktionen x,y,...,u,v,... bilden, 

 damit wir die aus (13) und (14) folgenden Entwicklungen mit denselben vergleichen können. 

 Bei den Differentiationen wird es praktisch sein, folgenden Operator 



at ax oy ' Ou àv 



einzuführen. Wenden wir ihn auf eine Funktion g- (f , r, i/, . . . , w, v, . . .) an. so ist das Ergebnis 



' dt dx dt/ ' du ^ ov ' 



wir sehen also, dass Z) nichts anderes bedeutet als eine Differentiation nach t. Durcli formale 

 Anwendung des binomischen Lelu'satzes werden nun folgende Operatoren gewonnen 



\ôt dx dy ' dxi ^ dv j dt- dtdx dxdy ' oxou 



D3=.(^^ + U^ +v^+- ■• + f^ + g^ +■■■]' = f,,+ 3Ur^ + --- + 3UH -K- + • • • + 3 U^f;^ + 

 \dt dx Oy ' du '^ dv ' dt^ dt^dx dx-oy 'ox'Ou 



u. s. w. Ferner gelten die Regeln 



D{(f + ip) = D<f + -D(/', D((ftli)= (fDiii+ il'Dif, 

 D{D"(p)='D"+W + n\fD"-'if'^+gD"^^(fl+--- + DfD"~^q.;, + DgD"~'q.^ + ■■•], („= i,2.3.. ..). 



9. Es kommen in ]) drei Arten ^'on partiellen Ableitungen vor: erstens solche in bezug 

 auf die unabhängige Veränderhche (, dann die in bezug auf die gesuchten Funktionen x,y, . . . 

 und schliesslich Ableitungen in bezug auf die Funktionen u,v, . . ., die ihi'erseits Ableitungen 

 der gesuchten Funktionen sind. Wir können indessen eine grössere Symmetrie dadurch erreichen, 

 dass wir die Veränderliche l als eine der gesuchten Funktionen betrachten. Denken wir uns näm- 

 lich zu den Gleichungen (H) noch die Gleichung (" = hinzugefügt, so ist nichts im Wege, t als 

 gleichberechtigt mit x,y,... anzusehen, und zwar lautet für diese Funktion die eine Anfangs- 

 bedingung /' = 1. Diese Auffassungsweise erlaubt uns nun, ( ganz zu ignorieren, wenn wir nur 

 dafür Sorge tragen, dass unsere Formeln füi" eine unbeschränkte Anzahl Funktionen x, y. . . . 



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