10 E. J. Nyström. 



gelten. Anders ausgedrückt: Wir operieren so, als ob die unabhängige Variable in den Gleichungen 

 (8) explicite gar nicht vorkäme. Für die Übersichtlichkeit ist das von grossem Vorteil. 

 Nun bilden wir die Ableitungen von x, y, . . . und erhalten füi" die vier ersten 



x' = M, x" = f, x'" = D/, x"" = D^f + /;/ + /,^3 + . . . + f'Bf + flDg + • • •' 

 y'^v, y"=g, y"' = Dg, y"" = D^g+ g'J + g^g + ■ . ■ + g;Df + g^Dg + ■ ■ -, 



Die mittels derselben erhaltenen Taylorschen Entwicklungen im x und u sind auf Seite 

 12—13 in je eine Kolumne geschrieben und bis zu den Gliedern fünfter Ordnung einschl. in Af 

 fortgesetzt. Der Grund, warum wir diese Schreibw^eise benutzen, wird später klargelegt werden. 



10. Die Zuwächse Ax, Ay, . . ., Aw, Ai', . . . müssen auch nach Potenzen von A t entwik- 

 kelt werden. Dazu brauchen wir den Taylorschen Lehrsatz für mehrere Variablen, den wir unter 

 Benutzung der sog. symboUschen Multiplikation in folgender Form schreiben: 



f(t + åityX + ôiX, y + åiy, . . ., u + d.w, v + d,i;, . . .) = f{t,x,y, . . .,u,v, . . .) + 



'"• +[<i,.Ä+feå+*»4 + -- + *'«H+^'%-.+ --]'+^[ ï'-'a ]'/+■•■• 



wo in jeder Klammer derselbe xVusdrack steht wie in der ersten. 



Die Grössen d,x, ô,y, . . ., ôiu, d,v bilden wir jedesmal nach (13) und bleiben bei den Ghe- 

 dern vierter Ordnung stehen, falls die Reihen nicht eher abbrechen. Nachdem diese Ausdrücke 

 bekannt sind, benutzen wir die Formel (16), um die Reihen für A'm, A'r, . . . zu entwickeln. So- 

 dann bilden wir di + iic, ^, + iy, . . ., ài+iu, J, + ir, . . . und gehen so Schritt für Schritt weiter. 



Die Übersicht über die z. T. sehr weitläufigen Ausdrücke versuchen wir durch folgende An- 

 ordnung zu erleichtern. In A/w, . . . erscheinen nach und nach dieselben Glieder wie in den Tay- 

 lorschen Reihen für x, . . . , m, . . ., und nun haben wir diejenigen Glieder der erstgenannten Reihen, 

 die einen gemeinsamen Koeffizienten bekommen, bereits beim Hinschreiben der Taylorschen 

 Reihen für x, . . ., m, . . . (S. 12—13) in eine Gruppe zusaminengefasst und für sie eine besondere 

 Zeile reserviert. Dabei ist unter einem Koeffizienten eine Funktion der unbestimmten Para- 

 meter X, (i , . . ., dl verstanden. Die Reihen A'i< tragen wir jetzt, nachdem wir sie mit den zu- 

 gehörigen Gewichten a,h, c, d, e multipliziert haben, in je eine Kolumne der Tabelle S. 12—13 

 ein, und zwar brauchen wir dabei nur die Koeffizienten hinzuschreiben, da die mit diesen zu 

 multiphzierenden Glieder auf derselben Zeile in den x- und it-Koluninen schon angegeben sind. 



Die Bedingungsgleichungen, deren Aufstellung das Ziel dieser ganzen Rechnung ist, treten nun 

 fast unmittelbar hervor. Der Koeffizient (in dem angegebenen Sinne) irgendeines Gliedes der 

 Taylor- Reihe muss nämlich nach (14) gleich sein der Summe der Koeffizienten desselben Gliedes 

 in den Reihen für a^'u,h^"u,c^"'u,d^""u,e^''u, bzw. a'A'!*, fc'A"w, c'A"'u, d'A""?*, e'A^«. 

 Diese Gleichungen können aus unserem Schema ohne Schwierigkeit abgelesen werden; auf der 

 einen Seite des Gleichheitszeichens steht in jeder ein Bruch, und diesen Bruch haben wir von den 

 Gliedern der Taylor- Reihen stets als Faktor abgetrennt. 



Bisher haben wir nur die Reihen für Ax, Am, A'm, (i = 1, 2, 3, 4, 6) ausdrücklich in Betracht 

 gezogen, genau dieselben BedingTingsgleichungen ergeben sich aber beim Vergleich der beiden 

 Reihen für Ay, Av. 



Wir stellen hier die Grössen d,x, J.y, d,M, d.i;, (z = 2, 3, 4, 6) zusammen. Man bekommt 

 der Reihe nach 



Tom. L. 



