14 E. J. Nyström. 



§ 4. Auflösung der Bedingungsgleichungen. 



11. Bei der numerischen Integration von Differentialgleichungen bildet im allgemeinen 

 die Berechnung der Funktionswerte den weitaus grössten Teil der Arbeit, denn alles Übrige sind 

 im wesentlichen nur Additionen und Multiplikationen mit verhältnismässig einfachen Koeffi- 

 zienten. Daher werden wir bei der Bestimmung der letzteren stets mit möglichst wenig Funk- 

 tionswerten den gewünschten Grad der Annäherung zu erreichen versuchen. 



Aus der grossen Tabelle der Bedingungsgleichungen werden wir nun bestimmte Systeme 

 von solchen herausgreifen, dui'ch deren Auflösung sich Näherungsformeln verschiedener Ordnung 

 erzielen lassen. 



Unter einer Näherung einer gewissen Ordnung n für ein System (8) verstehen Runge und 

 KuTTA eine solche, die die Taylorschen Reihen 



Aa' = MAt + ^/(At)2+iD/(Aj)^ + ••■, Am = / A< + ^D/(At)' 



bis auf Glieder n-ter Ordnung einschhesslich richtig darstellt. Es ist dies eine notwendige Folge 

 aus der Betrachtung des Systems (8) als eines Spezialfalles des Normalsystems. Von unserem 

 Standpunkt aus erscheint die Frage berechtigt, ob es nicht natürlicher wäre, die Ordnung der 

 Näherung n zu nennen, wenn die gesuchten Funktionen bis auf Grössen n-ter, ihre Ableitungen 

 aber bis auf solche der n — 1. Ordnung einschl. richtig angenähert werden, weil nämhch dann in 

 beiden Reihen gleich weit in der Berechnung der Ableitungen x'", x"", . . . gegangen wird. Jedoch 

 wollen wir die frühere Benennung nicht ändern, werden aber Formeln itntersuchen, die sich ent- 

 weder der einen oder der anderen Auffassungsweise anschhessen. 



GelegentUch werden wir die Ordnung nm- durch römische Ziffern andeuten und daneben 

 die Anzahl der zu berechnenden Funktionswerte schreiben; so würde z. B. die Bezeichnung 

 (IV, III, 3) auf eine Näherungsformel hindeuten, die eine Approximation vierter Ordnung in 

 den gesuchten Funktionen und eine der dritten in ihren Ableitungen üefert und zwar durch Be- 

 rechnung von drei Funktionswerten für jede Funktion. 



A. Näherungsformeln für Differentialgleichungen zweiter Ordnung, in denen 



die ersten Ableitungen fehlen. 



12. Wir werden zuerst eine besondere Klasse von Differentialgleichungen zweiter Ordnung 

 (8) untersuchen, nämlich solche, wo die ersten Ableitungen u, v, . . . fehlen. 

 Auf die Form eines solchen Systems lässt sich jedes Normalsystem 



'-^^= F(t,x,y, . . .), j^ = G{l,x,y,. ..),.. . 



bringen. Durch Differentiation findet man nämlich 



d^_dF dF dx dF dy^ d^y ^ dG dG dx dG dy 



dV-~ öi^ dx dt '^ dy dt '^ ' dt'~ dt '^ dx dt^dy dt ^ " ' 



In diese Ausdrücke tragen wir die Werte der ersten Ableitungen von x,y, . . . ein und bekommen 

 dann ein System der verlangten Form 



(16) ^ = f{t,x,y,...), j^=^g(t,x,y, ...),.. . 



Tom L. 



