über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 



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Differentialgleichungen dieser Art kommen oft in den Anwendungen vor, in der Mechanik 

 z. B., wenn di(> wirkenden Kräfte von dem Ort und von der Zeit abhängen, nicht aber von den 

 jeweiligen Geschwindigkeiten. 



13. Aus dem allgemeinen Ansatz (13) geht hervor, dass als Folge des Auftretens von w , r, . . . 

 in den Differentialgleichungen («) die Koeffizienten mit dem Index eins, also ri, . . ., ^j in den 

 Bedingungsgleichungen erscheinen. Daraus lässt sich schliessen, dass im Falle eines Systems 

 der Form (16) alle diejenigen Bedingungsgleichungen, wo diese Grossen vorkommen, fortge- 

 lassen werden können. In der Tat haben wir in diesem Falle /^ - K - ö',,- ü', .-..-^Q, 

 und können uns überzeugen, dass die Glieder der Taylorschen Reihen, die den genannten 

 Gleichungen entsprechen, identisch verschwinden. Die Nummern dieser Bedingungsgleichungen, 

 die also im Falle des Systems (16) nicht erfüllt zu werden brauchen, sind: 4, 8, 9. K». 12; 4', 

 8', 9', 10', .12', 18'— 22', 24'— 32'. 



14. Zur Bestimmung einer Näherungsformel dritter Ordnung (III, III) ist es notwendig, 

 das System der Gleichungen 1, 2, 1', 2', 3', 5' zu befriedigen. Diese lauten, wenn wir nur zwei 

 Funktionsberechnungen voraussetzen, also •c=rf=e=c' = f/' = p' = setzen, 



a + b = ^, ^■^ = ,5- 



^' = 1, h'k 



6', = ^, h'X^ = l 



Die Lösung ist eindeutig bestimmt, und es ergibt sich 



?, = ;, a' 



1 ,, 3 ; 2 2 



^, h =j, / = „. 0=-- 



3' =^9 



Die Formel selbst ist nebst den anderen an anderer Stelle (S. 23) angeschrieben und wird dort 

 luit Nr. I bezeichnet. Dabei erscheint es zweckmässig, gewisse Grössen A'^r, A''(/, . . . wieder als 

 Abkürzungen einzuführen. 



16. Zur Bestimmung der Koeffizienten einer Näherungsformel (IV. IV, 3) erhält man das 

 folgende System von Gleichungen: 



1 



(17) 



1. a 

 2. 

 3. 

 6. 



b + c =, 



6/ + Cfl 



bç + ca 

 hl-^ + cfi^ 



1 



^ ()' 



1 . 

 24' 

 1 



Ï2' 



1'. a'+b' +c' =1, 

 1 



6'. 6'Ào + c'|Wö- = g 



2'. /// +c'f> 



3'. b'o + c'a =i. 



5'. h' k-^ + c' fi^ = . 



?)'/3 + c'/i» 



1 



11'. 



c /T = 



24 



Wir versuchen zuerst / und ^l zu bestimmen, denn wenn diese Grössen bekannt sind, können 

 die anderen Unbekannten linear ermittelt werden. Durch Elimination von h' , c' aus 2', 6', 7' 

 bekommen wir die Relation 



= 



Es muss 



N:o 13. 



. . TAfl A + ;U 1] 



