16 '' E. J. Nyström. 



(18) ^_^ + l = 



sein, denn die anderen Möglichkeiten, nämlich / = O, fj. = O oder / = ,« würden, wie leicht er- 

 sichtlich, zu einem Widerspruch führen. Nun folgt aus 3', 6'; 6', 7' 



c' kann wegen 11' nicht verschwinden und b' wegen 2', ö', 7' auch nicht; daher folgt 



(19) Q = '^„ ff^fÇ- 



Diese zwei Relationen machen nicht nur 3 ' und 6 ' mit den Gleichungen ö ' und 7 ' bzw. identisch, 

 sondern auch 3 und 5 untereinander. In anderen Gleichungen unseres Systems kommen o und 

 ff überhaupt nicht vor. 



Werden nun A und ,« so bestimmt, dass die Relation (18) erfüllt ist. so bestimmen sich die 

 anderen TTnbekannten eindeutig und zwar 



a,b,c aus 1,2,5; a\b',c' aus 1', 2', 5'; t aus 11'; p,T aus (19K 



Damit werden in der Tat alle 11 Gleichungen in (17) befriedigt. 



Den willkürlichen Parameter (X oder /j) können wir entweder dadurch verwenden, dass wir 

 dem System (17) noch eine Gleichung hinzufügen, um etwa ein bestimmtes Teilglied fünfter Ord- 

 nung in der a;-Reihe richtig darzustellen, oder aber um das Wurzelsystem möglichst bequem zu 

 gestalten. 



Für den letztgenannten Zweck liegt es sehr nahe /< = 1 zu setzen, womit wir nach (18) A = ^ 

 bekommen. Es ergibt sich weiter in der beschriebenen Weise 



/ = ._,, (« = 1, e = g, °'=2' '^ = 2' " = 6' '''"3' <' = 0,a =c =j., b =3" 



Dieses Wurzelsystem wird wohl das einfachst mögliche sein; die zugehörige Formel, Nr. II, 

 S. 24, erinnert sehr an die »Runge-Kuttasche», setzt aber nur di'ei berechnete Funktionswerte 

 voraus, statt vier wie jenes. ^ Bei der Untersuchung der Restglieder werden wir zeigen, dass das 

 neue System dem alten auch an Genauigkeit nicht nachsteht. Dasselbe macht es' unnötig, eine 

 Näherung (IV, III) zu suchen, da zu der letzteren ebenfalls drei Funktionsberechnungen erfor- 

 derhch wären. 



16. Höhere Näherungen als die schon behandelten können wir erst durch Hinzunahme eines 

 vierten Funktionswertes erhalten, in welchem Falle wir nach (13) und (14) über 17 Koeffizienten 

 verfügen können. 

 ^ Zunächst schreiben w ir die Bedingungen für eine Näherung (V, V, 4) vollständig auf: 



" Wie die »Runge- Kuttasche Formel» als Erweiterung der »Simpsonschen Regel» gilt, kann unsere Formel 

 Nr. II als Erweiterung einer gewissen Kubaturformel aufgefasst werden, die in der Literatur unter verschie- 

 denen Namen, z. B. »règle des trois niveaux» vorkommt; zuerst wohl in C.4.VALIERI: Una Centuria di varii 

 Problemi (Prattica Astrologica), Bologna 1639. Vgl. Enc. Math. Wiss. II. C. 2. S. 129. 



Tom. L. 



