20 E. J. Nyström. 



Noch muss der Fall P = O untersucht werden. Es ergibt sich, dass keine der Grössen / , /< , 

 / — ,u, fi — t' verschwinden kann, ohne einen Widerspruch zur Folge zu haben. Für r = o und für 

 /. = V existieren zwar Lösungen, diese enthalten aber irrationale Koeffizienten und sind daher 

 unbequem. 



Es ist vorteilhaft, ein Koeffizientensystem zu bestimmen, wo d = ist, denn mit der zuge- 

 hörigen Formel kann man Ai, Ay, . . . berechnen, ohne A""u, A""«;, . . . ermittelt zu haben. 



1 '' 



Das beste, von uns gefundene Wurzelsystem dieser Art wird für '^ = ^^-, /"=3. '=1 erhalten 



^.^, d =0, /= ^, ^==, r=l, T = l, ./. = 1, X = -ä3. 



^' = à' ^ = i' '^ = 1' '^'^^ 



Die Formel ist auf S. 24 mit Nr. III a bezeichnet. 



Unter den sonstigen Wurzelsystemen ist vielleicht dasjenige das einfachste, welches erhal- 

 ten wird, wenn man t = und '/' = setzt. Es ergibt sich dann eine Formel Nr. III b, wo 



9 25 "^ ■' 4 4 



Die Untersuchung über Näherungen für Systeme der Form (16) schliessen wir jetzt mit der 

 Bemerkung ab, dass wir solche von der Ordnung (V, IV) nicht aufgestellt haben, weil dieselben 

 schon fünf Funktionsberechnungen erforderten und daher nur wenig einfacher wären als die ge- 

 naueren Formelsysteme (V, V). 



B. Näherungsformeln für beliebige Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 



17. Obgleich jedes Normalsystem und also auch jedes System der Form (8) sich mit Hilfe 

 der schon gefundenen Formeln integrieren lässt, wollen wir noch einige Näherungsformeln ablei- 

 ten, die direkt auf (8) anwendbar sind. Die in Nr. 12 angegebene Transformation kann nämlich 

 unter Umständen unangenehme Komplikationen mit sich bringen. 



Wie vorher suchen wir mit möglichst wenigen Funktionsberechnungen auszukommen. Auch 

 betrachten wir es als vorteilhaft, wenn zwei Funktionswerte mit denselben Argumenten a; + ô'x, 

 y + d'y, ... zu berechnen sind und der Unterschied nur darin besteht, dass an Stelle von u + a'u, 

 v + d'v, . . . die Argumente m + J' + 'w, v + ô' + ^v, . . . treten. Es ist klar, dass in der Arbeit 

 dadurch oft eine erhebliche Erleichterung eintritt, wie etwa in dem Falle, dass die Differential- 

 gleiclmngen in bezug auf die ersten Ableitungen linear sind. 



Hätten wir z. B. eine Formel für eine Approximation vierter Ordnung m x,y, . . ., u, v, . . . 

 mit vier Funktionsberechnungen, von denen z. B. in den beiden mittleren die eben genannte 

 Vereinfachung eintritt, so ist nach (13) A = ^ . q = a und t = . Eine derartige Formel wollen 

 wir mit (IV, IV, 3 -1) bezeichnen. 



18. Um eine vollständige Approximation dritter Ordnung (III, III) zu erhalten, haben 

 wir drei Funktionswerte zu berechnen und das folgende Grleichungssystem zu lösen: 



Tom. L. 



