22 • E. J. Myst ROM. 



1 -. 1 , . „ 1 



(28) 



( a'=rf' = ;j,. 6'=c' = 3, / = ^=^, ,'=1, xl< =0, X =2' '^ =*J. 

 I« =6 = c = jT, d=0, 0=0, ff = j, V' = 2' '/'i = l> Zi 



0, Ti=.5 



Die Verifikation bietet lieine Schwierigkeit. 



Unsere Aufgabe ist nun zu untersuclien, ob wir mit unserem allgemeineren Ansatz in der 

 Anwendung bequemere Formeln finden können. 



Wir versuchen (27) unter den Zusatzbedingungen / = ,« , q = a, t = o, von denen ja nach 

 (28) die mittlere bei der »Runge-Kuttaschen Formel» nicht erfüllt ist, zu lösen. Zunächst gibt die 

 Elimination von /b' + c' und (/' aus 2'. 5', 7' 



-i 



0=1.^ .^ L =-^.'(Â^.')(Y-^^+ii, 



4 



woraus folgt 



(29) ^•_^-+l = 0, 



denn das Verschwinden irgend einer der anderen Faktoren würde in (27) einen Widerspruch er- 

 zeugen. Sodann ergibt sich, dass auch in dem vorliegenden Falle die Relationen (24) stattfinden. 

 Infolgedessen können alle Gleichungen in (27). die q,ii enthalten, weggedacht werden, da sie 

 mit anderen desselben Systems identisch sind. 



Aus 4' und 9' folgt durch Division / = /^ = ^ und hieraus nach (29) r = 1. Ferner geben 



2, 5, 2', 6', 7': Z>+c = y, rf = ü, b' + c' = =, rf' = fj, und mit diesen Werten folgt aus 4' und 

 10': c'Tj = g, (//j + ;(, = !. Die anderen Gleichungen geben nach Einsetzung der schon be- 

 rechneten Werte 



1,1 1 1 - 1 , , 1 ,1 



Um ein möglichst einfaches Wertsystem zu bekommen, setzen wir ;^ = xi = o, womit sich 

 alle übrigbleibenden Werte berechnen lassen, und es wird der Reihe nach gefunden 



1 , -1 1,1 1 I, 1 k' 



Hiermit sind wir zu einer Näherungsformel (IV, IV, 3—4), Nr. V, S. 25 gelangt, die bei der 

 Anwejidung bequemer ist als die »Runge-Kuttasche», indem sie unter Umständen die Arbeit 

 auf etwa ^/4 reduziert, in keinem Falle aber eine Mehrarbeit erfordert. Auch ist unsere Formel 

 als die genauere anzusehen (vgl. S. 27). 



Die Betrachtung des vollständig angeschriebenen Formelsystems lässt erkennen, dass aus 

 demselben das früher abgeleitete Formelsystem Nr. II (S. 24) entsteht, wenn das erstere auf 

 Differentialgleichungen der Form (16) angewandt wird. 



20. Die oben willkürlich angenommenen Konstanten hätten wir zwar anders wählen kön- 

 nen, jedoch wäre damit nicht viel zu erreichen. Es zeigt sich, dass eine Näherung (V, IV) schon 

 fünf Funktionsberechnungen erfordert, dass wir aber dann eine grosse Mannigfaltigkeit solcher 

 Formeln bekommen. 



Tom. L. 



