über die numerische intégration von DI ffcrcntialglciclmrigen . 27 



Aus der Tabelle ist ersichtlich, dass unsere Formel Nr. V, die Nr. II als Spezialfall um- 

 fasst, mit der Runge-Kuttaschen gleichwertig ist oder sogar etwas genauer (Teilglied 8), obgleich 

 sie Vereinfachungen zeigt. Es würde jedoch wenig Zweck haben, die Tabelle der Fehler in den 

 r.liedern höherer Ordnung hier wiederzugeben, weil die komplizierten Ausdrücke der Teilglieder 

 nur in den seltensten Fällen zur praktischen Fehlerabschätzung verwendet werden können. 

 Auch kann man sich nicht darauf verlassen, dass eine Formel mit den kleineren relativen 

 Fehlern in der Wirklichkeit auch immer das bessere Resultat liefert. Verschiedene von uns 

 durchgeführte Beispiele haben vielmehr gezeigt, dass die Fehler der Teilghcder sich in ganz 

 unerwarteter Weise verstärken oder aufheben können. 



24. Eine praktisch brauchbare Abschätzung der Grössenordnung des Fehlers gewinnt man, 

 wie Runge gezeigt hat', durch nochmalige Anwendung der benutzten^ Formel, aber mit der dop- 

 pelten Intervallbreite. Wenn die Ordnung der x\nnäherung n ist, kann man den Fehler nach einem 

 Schritt, den wir mit fj bezeichnen, proportional zu (A/,)" + i annehmen und also fi = /c„4-i( Af)" + ' 

 setzen. Nach zwei Schritten ist der Fehler etwa auf den doppelten Betrag gewachsen. Hätte 

 man nur einen Schritt von der Länge 2A< gemacht, so wäre der Fehler ig = fc« + i(2 At)" + ' 

 gewesen. Nun ist identisch 2fi = 4^— , und wir können daher sagen: 



Der Fehler der ersten Berechnung beirügt nach zwei Schritten etwa — — des Unterschiedes 



u — 1 



beider Resultate. 



Für die Formelsysteme Nr. II, V sowie für das »Runge-Kuttasche« ist _ ,, gleich -•■ 



Numerische Beispiele zu dieser Methode der Fehlerabschätzung finden sich in dem oben 

 zitierten Lehrbuch von Runge-König (S. 297 f. und 315). 



Schliesslich ist zu erwähnen, dass die »Methode der sukzessiven Approximationen» als Kon- 

 trolle der in diesem Abschnitt auseinandergesetzten Methoden dienen kann und sogar die be- 

 quemste Fehlerabschätzung darbietet. 



Bisher handelte es sich nur um den Fehler der Integrationsformeln. Wie ein Fehler in den 

 Anfangswerten x.y,..., u, v, . . . auf das Resultat wirkt, hat Runge untersucht. » 



§ 7. Beispiele. 



25. Die Richtigkeit der Formelsysteme Nr. I— III wollen wir noch an dem Beispiel x" = x 

 und die der Nr. IV — VI an dem feeispiel x" = r,(x + n) kontrollieren, ■ obgleich eine solche 

 Kontrolle natürlich keine durchgreifende ist. 



A. x" = x. Anfangs werte: Für t = ist x=l, u=l. 



Jntervallbreite: M= t. Dann muss sich die exakte Lösung x=u = e' mit der oben 



angeführten Genauigkeit ergeben. 



Wir finden nacheinander 



Nr. r. 1 -j 2 



(111,111,2) A'x = t, A'w = «, A"x = t + ^t2, A"it = i + = <2_,._,3 



' Runge in Göttinger Nachrichten 1905, S. 252—5' 

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