28 E. J. Nyström. 



und daiâit 



Hier zeigt sicli deutlich der Vorteil dieses Fonnelsystems gegenüber der direkten Me- 

 thode der Reihenentwicklung. Denn die nach dem Glied dritter Ordnung abgebrochene 

 Taylor-Reihe gibt ja für Ax denselben Wert, den wir für au erhalten haben, während 

 unser Wert von Ax bedeutend genauer ist. Die folgenden Formeln geben: 



Der Koeffizient von C in der Reihe für î(, wird zufällig gleich dem richtigen. 



Für X wird also zufällig mit III b, für « mit III a ein besserer Wert gefunden. 



B. x" = -{x + u). Anfangswerte: Für ; = ist x=u=l. 

 Intervallbreite: A(=/. 

 Exakte Lösung: "^ 



a; = M = e' = 1 + t + ^ «2 ^ i «3 ^ 21 '* + rîo *' + 7^0 *' + ■ ■ ■ 

 aani^L, Ax= t + U^ + lt^ + ^^t^ + l^j^, Au^i + lt^ + y^ + ^^t^ 



»Runge-Kuttasche Formel»: 



(IV, IV, 4) . Ax=(4-5t=' + ^t* + ,4<* = Am. 



In diesem Beispiel liefert also die Formel Nr. 5 tatsächlich bessere Werte für x und 

 u, als es die »Runge-Kuttasche» tut (vgl. S. 27). 



(V^V4^5) A:r = t + it^ + it3 + ^l^t.+ i_,5 + ^^tB_o.oo09r-..., 



Aw hat denselben Wert wie in Nr. V. 



Um die Güte der in Nr. 24 angegebenen Fehlerabschätzung zu beurteilen, nehmen wir irgend 

 eine der benutzten Formeln, z. B. die »Runge-Kuttasche», und berechnen, von a;= 1 + Aa; aus- 

 gehend, mit derselben Intervallbreite t einen neuen Wert x und ferner, von a; = 1 ausgehend, 

 mit dem Intervall 2 t noch einen Wert x. Dann kann die genannte Regel ohne weiteres ange- 

 wandt werden. Es ergibt sich nach zwei Schritten von der Grösse t 



X- = 1 + 2 { + 2 «2 + i f 3 + ! j4 _,_ 1 (6 + ^ je ^_ . . . , 



nach einem Schritt von der Grösse 2 t 



Tom. L. 



