über dir numerische Integration von Differentialgleichungen. 29 



.c= 1 +2t+ 2t2-rit3 + |t< 



lind daraus der abgeschätzte Betrag des Fehlers zu 



fiü ^288-15* ^ 

 während der wirkliche Betrag des Fehlers 



fcO' ^288 •15'' ^ 



fcO' ^288-] 



ist. Auch in allen anderen Fällen würde man die Grössenordnung des Fehlers bestimmen können. 



Zweiter Abschnitt. 

 Integration von Differentialgleichungen durch numerische Quadratur. 



§ 8. Zurückführung der Integration von Differentialgleichungen auf numerische Quadratur. 



2ü. Für den in der Praxis besonders wichtigen Fall, dass mau eine Integralkurve durch 

 äquidistante Ordinaten bestimmen will, sind mehrfach Methoden angegeben worden, denen wir 

 uns jetzt zuwenden wollen. 



Es gibt zwar auch Methoden, die mit ganz willkürlich verteilten Ordinaten operieren und 

 die als Verallgemeinerungen der ersteren anzusehen sind >", allein bei ihnen wird die Rechenarbeit 

 derart vermehrt, dass ihre etwaigen Vorzüge in Frage gestellt werden können, weshalb wir auf 

 sie nicht näher eingehen. 



Es handle sich um die Differentialgleichung 



(30) ^^=x' = f(t,x). 



Wir setzen voraus, dass ihr Integi-al x= x{t) in dem ganzen Integrationsintervall eine stetige 

 Funktion von t ist und endUche und stetige Ableitungen besitzt soweit sie in den jeweils zu 

 entwickelnden Formeln vorkommen. 



Ferner wollen wir annehmen, die Rechnung sei bereits im Gange und die Werte x (t, ) = Xi 

 der gesuchten Funktion für eine Reihe äquidistanter Werte 



(31) t. = to + ^w, (i = 0,-l,-2, . . .) 



seien bereits bekannt, wobei w die als positiv und konstant vorausgesetzte Intervallbreite be- 

 deutet. f(t,x) können wir dann als eine stetige Funktion /(/) von t auffassen, deren Werte 

 /(«,, Xi) = /, in den Punkten (31) bekannt sind. Nun sollen also die Werte von x für die darauf- 

 folgenden Werte «,, (i=l,2, ...) ermittelt werden. 



1" z.B. bei T.N.Thiele: Interpolationsrechnung, Leipzig 1909, S. 21 — 29. / V)V<9S' 



N:o LS. 



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