30 E. J. Nyström. 



Indem wir die Differentialgleichung (30) als Integralgleichung a; = Xq + j f{i.x}dt schrei- 

 ben. sehen wir, dass die Bestimmung des nächsten unbekannten Wertes von x, d.h. 



te + to 'o + M 



(32) .ri = j;o+ j f{t,x)dt = Xo+jf{t}di, 



u u 



darauf hinausläuft, die in (32) bezeichnete Quadratur auszuführen unter Berücksichtigung der 

 schon bekannten Werte x, und /,. Nachdem Xi auf diese Weise ermittelt worden ist. wird damit 

 /i berechnet, und dann können der Reihe nach x.^. x^, . . . in derselben Weise gefunden werden. 

 Quadraturformeln, die sieh zu dem genannten Zweck verwenden lassen, gibt es sehr viele, 

 ^\ir beschränken uns aber darauf, diejenigen unter ihnen zu erwähnen, die zur Integration von 

 Differentialgleichungen verwendet worden sind oder sich dazu eignen. 



27. Vorerst wollen wir jedoch bemerken, dass die Integration eines Normalsystems von 

 der Form 



(33) ^^^^ = F(t,x,y,...), '^=G(t,a,',j/....),... 



durch Erweiterung der oben skizzierten Methode prinzipiell keine Schwierigkeiten bietet, falls 

 F,G, . . . den nötigen Bedingungen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit genügen. Man hat 

 nämlich nach (33) mit der Bezeichnung ?/, = ?y(f,). . . 



Xi= Xo+ j F(t,x,y )dt, yi=^yo+ j G(t,x.y,.. .)dt 



?» I, 



und kann wiederum alle Quadraturen angenähert ausführen, sofern man die Werte von x, y, . . . 

 für ig, to— o), i^~2o), . . . schon berechnet hat. Es bedarf also keiner neuen Quadraturformeln 

 um ein beliebiges Normalsystem (33) zu integrieren. Wenn es sich um Gleichungen zweiter Ord- 

 nung handelt, kann es angemessen sein, Formeln fiir eine zweifache Quadratur zu benutzen. Von 

 den Einzelheiten in der Durchführung der Rechnung wird im dritten Abschnitt die Rede sein. 



§ 9. Die wicbtigsten Integrationsformeln. 



28. Eine Reihe von Formeln, welche erlauben, die Werte der betreffenden bestimmten Inte- 

 grale aus den schon bekannten Funktionswerten /«,/- i,/ a,... linear zu berechnen, gewinnt 

 man durch Integration aus der »Lagrangeschen Interpolationsformel» und erhält, von dem Rest- 

 glied der letzteren ausgehend. Ausdrücke zur Beurteilung der jeweils erhaltenen Genauigkeit. " 

 Diese haben durchweg die Form von Ableitungen von /, die für einen Mittelwert eines gewissen 

 Intervalles zu berechnen und mit kleinen Konstanten zu multiplizieren sind. 



" Vgl. J. F. Steffensen, Skandinavisk Aktuarietidskrift 1922, S. 20 — 36. Die Methode ist ganz analog 

 der bekannten Quadraturmethode von Newton-Cotes. Diese letztere kann hier nicht direkt angewandt wer- 

 den, denn dabei wird auch /j benutzt, welche Grösse in unserem Falle eben gesucht wird. — Vgl. auch Stef- 

 fensen: Interpolationslsere, Kobenhavn 1925, S. 166 — 174. 



Tom. L. 



