32 E. J. Nyström. ' 



30. Solche Differenzen benutzt die »Newtonsche Formel für Interpolation nach rückwärts» ^^. 

 die folgendermassen lautet, wenn wir n= -{t— tg) setzen: 



(35) f(t) = f,+ l\A\+^l^à'_^ + ...+^-^^^±ll:i-\l^^ 



(^=1.2, ). 



Hierbei liegt $ zwischen dem grössten und dem kleinsten der Werte t,to,to — f'M und hängt 

 von t ab. Wir führen die Integration von t^ bis *„ + « aus und erhalten mit Rücksicht auf (32) 



tc + œ 1_ ^ 



a;i = 3;o+ 1 f{t)dt — Xo + o} I f {to + no))dn , oder 



U 



(36) Xi = a;o + «|/o+|A'_^ + :^Al^+^A%+gA'_2 + ^Al5 + ...J+B, + ,, 



1 



(37) E,^,=..,>+2j "'"YJ;v|r''V ""'^"(g)^^- 







ii' + i) 



i' liegt diesmal zwischen l,,- vm und /o + <"- Weil die Ableitung / "*" stetig angenom- 

 men wurde, und weil der andere Paktor des Integranden in (37) sein Vorzeichen zwischen n = 

 und n = 1 behält, können wir den ^littelwertsatz der Integralrechnung anwenden und finden 



(38) R.^. = or+v'^+M(n/'^ "-^(^^^-;)r^''^ ^"' 



() 



wo $' wieder zwischen („ — cw und i^ + w liegt. 

 Setzen wir 



1 



(39) A,= \ "^ 



+ 1 ) • • • ( ?t + s - 1 ) 



dn, (/■^1,2, 







so lässt sich (36) nebst dem Restglied (38) so schreiben: 



(40) xi = Xü + w/o+ w y^,A'_i-|-4„ + i w'' + 2^('' + i)(i-), («„->•«.<: !<<„ + <»). 



Diese Formel, die wie gesagt nur bekannte Differenzen enthält, ist — allerdings ohne Restglied 

 — von J. C. Adams 13 aufgestellt worden. Sie kommt später z. B. in Arbeiten von Charlier und 

 Krylopf vor. 



Eine etwas bequemere Formel wird durch Integration von (35) zwischen t^ "> und i„ + w 

 erhalten, nämlich die folgende: 



''^ Die gewöhnlich mit dem Namen Newton's bezeichnete Interpolationsl'ormel ist nach einer Bemerkung 

 bei E. T. Whittaker& G. Robinson: The Calculus of Observations (London 1924, S. 12) im Jahre 1670 von 

 James Gregory entdeckt worden (loc. cit. '■''). Die meisten von den gebräuchlichen Interpolationsformeln 

 sind aber zum .ersten Male in dem Werke I. Newtons: Methodus Difterentialis, (gedruckt 1711, geschrie- 

 ben vor Oktober 1676) enthalten. Restglieder hat man erst sait Cauchy benutzt. 



'^ F. Bashforth & J. C. Adams: An attempt to test the théories ot Capillary Action, Cambridge 1883, 

 S. 18. Whittaker und Robinson bezeichnen (loc. cit., S. 363) die Anwendung der Formel (40) als »the 

 best method of integrating differential équations numerically». 



'['om. L. 



