über (lie rmtneiische Infec/ifitioii von Differcntialgleichimf/cn. 33 



n 



^ 1 1.- 1 A^ -'■• A* 14 A'" , i' n{n + l)---{n + v-l) j .« \ . n 

 ,T , = a;_ 1 + 2 «/„ + ... 3 A . , + 3 A_ j + yg A_ 3 + j^ A_ 6 + . . . + J J ^ dn^_^ +R.+ i, 



[■ a 2 _ I 2 



dio am zwcekmässigsten in dor Gestalt 



(41) .ci = a;_, + 2o,/o+ia,JAl,+A"'_|+Al2+Al|-lA* .,-,^a1| j 



geschrieben wird, welche sich durch die bequemen Koeffizienten ina Vergleich mit (36) empfiehlt. 



Auf das Restglied kann diesmal der Mittelwertsatz erst dann angewandt werden, wenn man das- 



-i 



selbe in zwei Teile zerlegt. Wir setzen in Analogie mit (39) G,- = | ' ^(»+ l^-y ^liL+L-L^dn 



und finden leicht o 



(42) R, + j = M, + ,/"'->'(r)-G. + i/> + '>(?")]«" + ^ 



wobei 4' zwischen /„- rw und !„ + (", ?" zwischen (j — rw und tg liegt. 



31. Die Integration kann aber auch mittels anderer Differenzenwerte als der direkt gege- 

 benen vollzogen werden, wenn auch in indirekter Weise. Wenn nämlich die /, für t = 0, — 1, 

 — 2, . . . gegeben sind, kann man durch Extrapolation sich die Funktionswerte /, für i = 1, 2, . . . 

 verschaffen und das Differenzenschema ergänzen. Falls die so extrapolierten Funktionswerte 

 nicht mit den später durch Integration gefundenen übereinstimmen, wird es notwendig, die Inte- 

 gration mittels der verbesserten Funktions- und Differenzenwerte zu wiederholen und dies so 

 lange fortzusetzen, bis eine Änderung in den /j, . . . nicht mehr eintritt. Das Verfahren konver- 

 giert bei kleinem w sehr rasch. 



Wir werden jedoch weiter unten sehen, dass die fraglichen Integrationsformeln ihre grösste 

 Bedeutung bei der Verbesserung schon vorhandener Näherungen erlangen. 



32. Eine Formel, welche die mit /i in emer aufsteigenden Diagonale des Schemas (34) lie- 

 genden Differenzen enthält, ist am bequemsten aus der »Newtonscheu Interpolatlonsformel» 

 zu erhalten, wenn man die letztere auf die Umgebung von t^ anwendet. Dieselbe lautet: 



(43) xi = Xo+iofi^(oyG,à'.^+B. + i. 



wo 



-i 



^, I n (71+ l) ••■(». -i-i — l) j , XI .. L o ^ Tiv + U/.-, / 



0, = J -^ '—jf '-dn und R, + x = ~ u^' + ^G. + xf +"(i), {t,-(v -\)œ<i<t, + a,), 



r-l r -— r -1 r_ü r - A. ^, _863 



"Ji 2' ^2~12^ '-'»"24' ^4~720' ^^5-160' "^'«-60480 



Dieselben Koeffizienten hat eine, bereits von Gregory aufgestellte Formel. " 



33. Besonders in der Astronomie wird eine von Gauss herrührende Quadraturformel viel 

 benutzt, die in zwei horizontalen Geraden des Schemas (34) liegende Differenzen enthält. Wir 

 führen zur Abkürzung folgende für /,=0, + l,+'2, . . . geltenden Bezeichnungen ein: 



" Brief von Gregory an Collins vom 23. Nov. 1670 [Rigaud's Correspondence 2, S. 209]. Von der 

 Formel (43) hat u. a. G. H. D.^rwi.n umfassenden Gebrauch gemacht. Scient, pap. Vol. IV und Acta mathe- 

 matica Bd. 21 (1897), S. 99—242. Vgl. auch die Note ^s. 



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