[Jbnr die nunierischr Intrgrntiov von Diff'f'rnduiUjU'ichiingen. 35 



34. Gemäss der Bemerkung am Schliissc von Nr. 27 vvullcii ww \\w\\ einige Formeln für eine 

 zweifache Integration besprechen. 



Handelt es sich um die Gleichnng 



(50) ;;^=:,." = F(<.x), 



SU haben wir mit Benutzung der bisherigen Bezeichnungsweise 



(51) x=Xa+Ua(l-ta)-'r \ dl \ F(t)dt, 



indem die Integrationskonstanten so bestimmt worden sind, dass für (=/o, x=Xa und 

 [''^1 =Uo wird. Setzen wir in (61) nach ausgeführter Integration / = /„ + c», so muss x = x^ 

 sein und ebenso a; = a;^i für «=(„ — w. Aus den dadurch erhaltenen Gleichungen folgt 



(62) ici= 2.rj„-x_i+ j dl I F(l}dt + j dt j F{t)dt. 



F{t) können wir wieder diirch eine ganze, rationale Funktion annähern, um die Integi-ationen 

 auszuführen. Wollen wir nur direkt gegebene Differenzenwerte benutzen, so wenden wir auch 

 jetzt die »Newtonsche Interpolationsformel» an; wir ersetzen also in (35) /(t) durch F(t). Mit 

 den Bezeichnungen 



3,= I dn 1 j-, dn, C, = I an I ^; an, 



') 'o *' n 



ergibt sich 



(53) a;i = 2xo -a; i + «2_Fo + w^^^S.A'^ ; + Bm 1, (r-2.3,...). 



Hier bedeuten die A^^ ^ Differenzen der Funktionswerte F,. Die ersten Koeffizienten der Formel 



2 



(53) sind 



1 1 ., _19 ç,_Aç;_ 863 



"52 — ^2' ^ ~ 12 ' "• ~ 240 ' "5~40' * 1209ti 



Für den praktischen Gebrauch schreibt man statt (53) 



(54) a;i = 2xo-.c_, + w'-Fo + ^[a'_, + A^ a + a'*_ ^ + A^^ .^ - 20 ^*_ 2 ^ iJ^ A''*_ :^ + • ■ ■] • 



Diese Formel ist unabhängig von Ad.vms von Störmkr aufgestellt ^^ und von ihm und sei- 

 nen Assistenten viel benutzt worden. Störmer tabuliert übrigens direkt die Funktion w^F. 

 Für R, + i erhält man durch Anwendung des Mittelwertsatzes für zweifache Integrale unmittelbar 



(55) A'„ + , = £./^'!B„ + li^"^'"(i")-Cv-MF"'^"(r');, (f„-rro<|'<<„ + m. «„-..«<|"<<„) 



1* C. Störmer: Sur les trajectoires des corpuscules électrisés dans l'espace sous l'action du magné- 

 tisme terrestre avec application aux aurores boréales (Archives des Sciences physiques et naturelles, Genève, 

 juill.'t-octobre 1907), S. 63 ff. 

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