36 E. .1. Nyström. 



oder, wenn man F^' + 'V?") = f"'"*""!?') + (r'-?')F'^ + ^^(|"') setzt, wo S '" zwischen 5' 

 und I" liegt, 



(55)' E„+i = (.."+'!&'.+, i^<"+"(r) + a+i(5'- i")i'"''^ "(?'");• 



Betreffs der Grösse |S' — J"| kann man jetzt nur sagen, dass sie nicht grösser ist als {v + i)m; 

 eine andere Betrachtung zeigt, aber, dass sie erhebhch kleiner ist. Bei kleinem o) kann man 

 jedenfalls das Restglied durch den Ausdruck 7?„ + i = («'"'"^/S', + iF'''"''''(?') abschätzen. 



36. Die rechte Seite von (52) findet sich bei Legendre durch Differenzen, die in einer 

 horizontalen Geraden liegen, ausgedrückt, i" Die betreffende Formel wird am besten aus der 

 »Stirlingschen Interpolationsformel» 



F(0 = F.+ ;^A^-f;^:A; + ^f^A^ + ^^!<^^'A;+...+ 

 (56) 



+ (27^17! ^ \ + (277! "' ^ (^)' 



\v(i n = -(t — ig) und /o— ''<"<?< 'n + ''"'. (i'=l,2....) ist, abgeleitet. Führen wir die 

 Integrationen von (52) aus und setzen 



(57) La, = 2 [dn ' "Mn^ - P)(n^ - 2=).. -^«^- ii- 1) M ^, 



l I, ■-'....), 







so ergibt sich nämlich 



(58) Xl = 2xo~x_, + w^h\+o,■^Y,L.,.^l'+(o-''''L.,^F'"U^i), (r-J.3,. .), 



wo «0— )'ö) < i" < «0 + rö) und die ersten Koeffizienten folgende Werte haben: 



CKRV r -J T -- L / _ -^' 7 _ 289 



^° ' -^2 "12' ^*- 240' '^''"60480' ^^~ 36288Ö0' 



36. Für die zweifache (Quadratur hat Gauss eine sehr bequeme Formel abgeleitet, die der in 

 Nr. 33 erwähnten ganz analog ist und die den Vorzug vor (58) verdient. " Dieselbe wird vielleicht 

 am einfachsten durch zweimahge Integration aus der »Stirlingschen Interpolationsformel» (56) 

 erhalten, wenn man nachher Ay'= 2 (A'"^,'^,^— A^''"^— A'^'"') setzt, (7=1,2,3,...). Hierbei 

 ist unter A" der Funktionswert F, verstanden. Wir finden mit Rücksicht auf (51)"* 



" LeCtENDBE: Traité des Fonctions elliptiques T. Il, Paris 1826, S. 52. Legendke wendet allerdings 

 die Formel nur zur zweifachen Quadratur an, obgleich er die Integration von Differentialgleichungen für eine 

 Aufgabe erklärt, deren Behandlung wünschenswert wäre. Vgl. loc. cit '", S. 65. 



" Vgl. P. H. CowELL & A. C, D. Crom.melin: Essay on the return of Halleys Coniet (Greenwich Obser- 

 vations 1909). Die in Rede stehenden Gauss'schen Formeln (48)' und (62)' wurden zuerst von Encke im Ber- 

 liner astr. Jahrbuch 1837 und 1862 veröffentlicht. 



2 4 — 2 2 i - 'J 



1* Während unmittelbar hervorgeht, dass die Koeffizienten (57) vor den Gliedern (A^ -i,, ) 

 erscheinen, erfordert der allgemeine Nachweis, dass die Koeffizienten von Aq durch (46) definiert sind, 



eine besondere Rechnung. Hierüber, sowie betreffs der Herleitung von (62) und (63) vergleiche man die 

 Arbeit Steffensens On Laplace's and Gauss' Summation-Formulas [Skandinavisk Aktuarietidskrift 1924, 



S. 1—15]. 



Tom. L 



