38 E. J. Nyström. 



§ 10. Über die Genauigkeit der Integrationsformeln. 



38. Wenn wir bei der Anwendung des Differenzenschenias der Funktion / (oder F) uns von 

 vornherein auf die Mitnalinie der Differenzen bis zu etwa der r:ten Ordnung einschliesslicli be- 

 schränken und dabei annehmen, die /ite Differenz sei konstant, und also alle folgenden gleich 

 Null, so heisst das dasselbe wie anzunehmen, /(/.) (bzw. FH)) sei ein Polynom in f.P. (()vom 

 )':ten oder niedrigerem Grade. Denn für eine solche Funktion, und nur für eine solche, ist die »':te 

 Differenz konstant. Wir müssen offenbar v + 1 verschiedene Funktionswerte schon kennen, um 

 eine Differenz der citen Ordnung bilden zu können, andererseits ist ein Polynom vom nten Grade 

 durch I' + 1 Bedingungen bestimmt. 



Nun führen wir statt fit) das Polynom F, (t) ein. Wird dann die Integi'ation mit irgend 

 einer Formel des vorigen Paragraphen ausgeführt, die v + 1 Funktionswerte benutzt oder — was 

 gleichbedeutend ist — nehmen wir in der Formel noch die (konstante) r-.te Differenz mit, so er- 

 geben sich für die x, die Werte derjenigen Integralfunktion von P, (t), die den Anfangsbedingungen 

 entspricht, und zwar exakt, denn das Restglied einer jeden der Formeln A^erschwindet in diesem 

 Falle identisch. Alle Formeln geben also unter den erwähnten Annahmen die gleichen Werte 

 für X,, von etwaigen Abrundungsfehlèr abgesehen. Wird also eine Differenz irgend einer Ordnung 

 als konstant betrachtet, so sind alle Integrationsformeln, was die Genauigkeit betrifft, gleich- 

 wertig. Der Fehler rührt von den vernachlässigten höheren Differenzen her, die ja in Wirklich- 

 keit nicht gleich Null sind. 



Hiernach hat es also gar keinen Zweck, unter der genannten Annahme su. extrapolieren., um 

 etwa eine der Formeln (43), (48)', (58), (62)' anwenden zu können, da man dasselbe Resultat ohne 

 Extrapolation mittels (36), (41) oder (64) erhält. Die Extrapolation ist also nur dann anzu- 

 wenden, wenn bessere Anhaltspunkte dafür- zur Verfügung stehen. 



39. Durch Verkleinerung der Intervallbreite m kann man den Fehler der Integration bei 

 einem jeden Schritt beliebig klein machen. Denn das Restglied enthält eine Potenz von o> als 

 Faktor, während der andere Faktor nach unseren Voraussetzungen endlich ist. 



Auch bei der Integration über ein bestimmtes Intervall etwa von 1= a bis (= 6= a H n'-i, 

 kann der Fehler beliebig klein gemacht werden. 



Es möge sich z. B. um eine Integration mittels der Formel (40) handeln. Bedeutet dann M 

 den grössten Wert, den I /'""'' 'M zwischen i=a—r(o und i = b annimmt, so ist der Fehler 

 bei keinem Schritt grösser als Ay + i<a'' + '^M. Da die Anzahl der Schritte ~" beträgt, so 

 kann der Fehler der Integration von a bis h nicht grösser sein als R = Av + i b — a 01" + ^ M. 

 Wird u) verkleinert, so ändert sich M nicht oder wird jedenfalls nicht grösser; daher kann R 

 beliebig klein gemacht werden. 



Es wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass die Funktionswerte /(a + w), g{a + o)), 

 f{a + 2io), g{a + 2o)),. . . exakt berechnet werden können. Dies trifft nur in dem Falle einer 

 »reinen» Quadratur zu; bei der Integration von Differentialgleichungen dagegen entstehen in den 

 Werten x{a+M), y(a + ö)), . . . und also auch in den Funktionswerten fia + o), f/(a + w), . . . 



Tom. L, 



