Ühei- (lic numerische Jntef/ratiini ron Diff'i-revtiiilf/lrh-liiiiu/pn. 39 



gewisse Fehler. Man sielil .ihci- lt>iclit oin, dass dadurch in den ./■, Kciili r vmi der Ordnung 

 I' •( 3 in w entstehen, und die (lültiKkeit der obigen Behauptung wird dalier uiclit aufgehoben. -» 

 1\t,s oben Gesagte kann iiiiinittelbar ;uif den F;UI i'ines beliebigen Ndrnialsysteius verallge- 

 meinert werden. 



. 40. Die genaue Fehlerabschätzung mit Hilfe der Restglieder bietet in den meisten Fällen 

 grosse Schwierigkeiten, weil die dabei zu benutzenden, iKiheren Ableitungen von / (oder F) im 

 allgemeinen nur sehr mühsam zu berechnen sind. 



Meistens genügt aber eine ganz rohe Kenntnis des Verlaufes der betreffenden Differential- 



(lUdtienten. die man sich auch nhiic Dilfeiviitiatiim verschaffen kann. 

 Man lint allgemein 



(641 A; = <.)'/""" (i-), wo (/.,..-.^«<i< t/. + ^w). 



Demnach kann man die rrten Differenzen als Stichproben von den Werten dev niit w" multipli- 

 zierten r:ten Ableitung von / betrachten. Wenn nur diese Differenzen einen regelmässigen Ver- 

 lauf zeigen, erhält man also einen Begriff von dem Verlaufe von /'"' (<) . Will man den grössten Wert 

 von / " (4) in einem gewissen Intervall schätzen, so genügt es meistens, dafür die grösste Differenz 

 der r:ten Ordnung, anzunehmen die in dem für $ festgesetzten Intervall vorkommt. (Eigentlich 

 müsste man ja die Werte von A" in einem nach beiden Seiten mit ^w verlängerten Intervall 

 in Betracht ziehen.) Hieraus ergibt sich eine, zwar rohe, obere Grenze für den Fehler der Integra- 

 tionsformel, und es ist klar, dass eine untere Grenze in analoger Weise bestimmt werden kann. 

 Diese und die später erwähnten Methoden der Fehlerabschätzung werden wir weiter unten, 

 Nr. 44, an einem numerischen Beispiel erläutern. 



41. Bisweilen kann man schon aus der Kenntnis der Vorzeichen der höheren Ableitungen 

 wichtige Schlüsse ziehen, wie das Folgende zeigt. Es sei eine Reihe und ihr Restglied R gegeben 



S =y]u. + B., + ]. Wenn die erste, von Null verschiedene Zahl ü nach IK mit [^ + „ bezeichnet 



wird, so ist R, + i = Ih + ß + R> + ^ + \. Daraus ist folgendes ersichtlich: Wenn R„+i mid Ry + ^ + i 

 rerschiedene Vorzeichen haben, ist das Restglied Rv^i numerisch Meiner als das nächste, nicht ver- 

 schwindende Glied der Reihe und hat dasselbe Vorseichen wie dieses. Die genannte Bedingung ist 

 auch notwendig. Dieses Fehlerkriterium kann bisweilen gute Dienste leisten ^^, besonders bei der 

 zweifachen Integration kann aber die Bestimmung des Vorzeichens von Rv + i und Ek^^ + i viel 

 Mühe verursachen. 



42. l'm deii Fehler einer Integrationsformel der Differenzenreclmung zu überschlagen, 

 kann man auch untersuchen, welches Resultat man bekommen haben würde, wenn man in der 

 Formel ein Glied mehr hinzugezogen hätte. Die Formeln liefern im allgemeinen »semikonvergentei) 



■" Vgl. die Konvergenzbetrachtuiig bei J. Tamarkin, Mathematische Zeitschrift 1923, S. 214 — 219. 

 •" Vgl. STEfFENSEN: On the Error in Interpolation-Formulas (Skandinavisk Aktuarietidskrift 1923, 

 S. 185—189). 



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