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Reihen, und es ist deswegen kein unbedingter Vorteil, viele Glieder mitzunehmen, denn diese fan- 

 ii;en von einem bestimmten Glied an zu wachsen. Wie man zweckmässig verfahren kann, er- 

 läutert Charlier folgendermassen. -'^ 



»In der Praxis bin ich dem Prinzip gefolgt, die Reihe mit dem kleinsten Glied abzubrechen 

 (das kleinste Glied wird nicht mitgenommen), und den Fehler ungefähr gleich dem doppelten 



Betrag des kleinsten GHedes geschätzt. Es ist zwar, , nicht bewiesen, dass dem wirkUch 



auch so ist, aber das wahre Resultat wird nicht weit hiervon abweichen, wenn w so klein gewählt 

 worden ist, dass die Differenzen innerhalb des Intervalles nicht das Zeichen wechseln.» 



Es bliebe also übrig zu zeigen, dass bei hinreichend kleinem <» der Fehler kleiner ist als der 

 zweifache Betrag des ersten vernachlässigten Gliedes. Für einige der bei Ch.^rlier angeführten 

 Formeln, hat C. R. Adams dies getan. -^ 



Es lässt sich aber a priori erwarten, dass, in dem uns interessierenden Falle, das Ver- 

 hältnis des Restgliedes R, zu dem ersten vernachlässigten Glied, welches Verhältnis wir allge- 

 mein mit V, bezeichnen, bei verschwindendem w sich der Einheit nähert. -* 



In der Tat erhalten wir aus (40), um mit dieser Formel zu beginnen. 



(6o), F, + i = ; ^V+1 = i T+\ • (i„-rM<|.^<o + fo). 



'^.+ ,Aj„_i_ -^^^A^. + i 



i-i 



Sowohl f'^'^Hï) als — -TT nähern sich für w _ o dem Grenzwert /'"^^^(to), filso ist 



lim F, + i= 1 für i' = 1, 2, . . . 



Für die mit (4u) analoge Formel (53) gilt Entsprechendes. Wir haben mit Rücksicht auf 

 (56)' lim r„ = 1. (r = 2, 3, . . .)• 



Was die Gaussschen Formeln (48) und (62) betrifft, lässt sich leicht zeigen, dass für beide 

 lim V, = 1 ist, bei welchem Glied man auch die Formeln abbricht. Dabei muss man nur be- 



achten, dass, wenn man vorläufig unberücksichtigte Kolonnen des Differenzenschemas später in 

 Rechnung zieht, auch die »Integrationskonstauten» verbessert werden müssen. Tut man dies 

 nicht, so kann das Verhältnis F bei beliebig kleinem w einen sehr grossen Wert haben. 



Es wäre von Wichtigkeit, in jedem Falle entscheiden zu können, ob das Intervall klein ge- 

 nug ist, damit die von Charlier erwähnte Regel gültig sei. Was z. B. die Formel (40) betrifft, 

 kann dies mittels des Ausdmcks (65) geschehen, indem man zusieht, ob die Ungleichheit V, < 2 

 gilt oder nicht. Dies setzt allerdings wieder die Kenntnis der Ableitungen von / voraus, und die 

 Charljersche Regel kann deshalb nur selten exakte Anwendung finden. 



^2 Charlier: Die Mechanik des Himmels, Leipzig 1907, Bd. II, S. 63 f. 



^ C. R. Adams in Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. XLVII (1923). S. 53— 61. Erratum 

 dazu ibid. Bd. XLVIII, S. 28. Seine Untersuchung gilt auch für den Fall dei' Integration über ein bestimmtes 

 endliches Intervall. 



^ Man kann nämlich dii- Integrationsfornipln der Difl'erenzenrechnung nach (64) gewissermassen als 

 Potenzen t wickhingen auffassen. 



Tom. L. 



