über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 41 



43. Die in Nr. 24 auseinandergesetzte Metiiode der Folderabschätziing kann auch auf die 

 Formeln der Differenzenrechnung angewandt werden. Wenn man nämlich die Integration mit 

 der doppelten Intervallbreite wiederholt, ist der Fehler der ersteren Berechnung, wenn man 

 jedesmal vor den Differenzen derselben Ordnung abbricht, angenähert gleich einem bestimmten 

 Bruchteil des Unterschiedes beider Resultate. Dieser konstante Bruch kann in jedem besonde- 

 ren Fall unmittelbar angegeben werden (vgl. das folgende Beispiel). 



§ 11. Beispiel zur Erläuterung der Fehlerabschätzungen. 



44. An der zweifachen Quadratur 



10' cos t rf« 



i'\\ 



wollen wir nun die verschiedenen Methoden der Fehlerabschätzung zur Anwendung bringen. 

 Der exakte Ausdruck für x ist 10' cost. 



Der ("Irund, warum wir nicht die Integration einer Differentialgleichung als Beispiel gewählt 

 haben, ist der, dass wir jetzt bloss die Fehler der Quadraturformeln betrachten wollen. Bei der 

 Integration von Differentialgleichungen treten ausser diesen Fehlern, vom zweiten Schritte an, 

 zugleich solche auf, die von den ungenau bestimmten Funktionswerten herrühren und die be- 

 sonders untersucht werden müssen. In Nr. 48 werden wir ein Beispiel solcher Fehleranliäufungen 

 geben. 



Das Intervall oj nehmen wir gleich ^ und erstrecken die Integration, die wir mittels der 

 Störmerschen Formel (64) ausführen, von bis t. Das Differenzenschema der Funktion 

 ~L^| 10' cos t kann jetzt hingeschi'ieben werden; darin bilden wir noch die Differenzen 

 sechster Ordnung, obgleich wir bei der Integration nur diejenigen bis zur vierten Ordnung ein- 

 schliesslich benutzen. Neben dem Schema, das sich auf der folgenden Seite befindet, haben wir 

 bereits in besonderen Kolumnen die exakten Werte von x sowie die mittels der Formel (54) 

 berechneten x eingetragen. Alle Grössen geben wir in ganzen Zahlen an, bei der Rechnung 

 wurde aber z. T. eine Dezimalstelle benutzt. 



Nach der Formel (65)' wollen wir nun den ungefähren Betrag des Fehlers der Integration 

 feststellen. Da wir etwa 0^ = 1^8^ haben, wollen wir das Ghed mit C^ ganz vernachlässigen." 

 Man kann nun leicht nach (65)' für den Fehler eines jeden Schrittes eine obere und eine untere 

 Grenze ermitteln. Es zeigt sich aber, dass man genau dieselben Grenzen erhält, wenn man nach 

 Nr. 40 statt der fünften Ableitung des Integranden die Differenzen fünfter Ordnung benutzt. 

 Wie aus der Tabelle hervorgeht, liegen die wirklichen Korrektionen von x tatsächlich zwischen 

 den angegebenen Zahlen, mit Ausnahme einer derselben, die mit der oberen Fehlergrenze zu- 

 sammenfällt. 



^ Dieses Glied wird tatsächlich verschwindend klein (vgl. die Schlussbemerkung von Nr. 34). 

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