über die ntiinerische fntegration von Diff'erenünlgkichungcn. 43 



Differenzen mit ziemlicher Sicherheit schliessen, dass E^ und /iV, für l = 144°, 166°, 168°, 180° 

 verschiedene Vorzeichen haben; bei anderen Schritten aber kann irian das nicht behaupten, ohne 

 die wirklichen Korrektionen der Werte x zu kennen. 



Die ( 'harliersche Regel kann jetzt eigentlich nicht angewandt werden, weil die ersten ver- 

 nachlässigten Glieder (mit den Differenzen der fünften Ordnung) noch nicht die kleinsten sind. 

 Man sieht jedoch, dass die Integrationsfehler (mit einer Ausnahme) klcini'i' sind als die doppelten 

 Beträge dieses Crliedes und dasselbe Vorzeichen haben. Hätten wir bei d(;r Integration auch die 

 lllieder mit A'^ und A« nütgnnommen, so hätte die ('harliersche Regel eine gute Fehlerabschätznng 

 geliefert. 



Um endlich das in Nr. 43 auseinandergesetzte Verfahren zu probieren, haben wir die Inte- 



gration nochmals durchgeführt aber mit der doppelten Intervallbreite w = -y^ , einmal von o 

 und einmal von 12° ausgehend. Denken wir etwa an den Schritt von (, bis t,+ 2, so kann der 

 Fehler von Xi u-i gemäss (65)' mit (2w)'fc bezeichnet werden. Bei der ersten Berechnung 

 ist der Fehler von cc, : i, d.h. der Fehler nach einem Schritt von der Grösse w, angenähert 

 öj'fc und derjenige von x. + a mit einiger Annäherung gleich 2w'fc. Demnach ist der Fehler 

 von Xi+i ungefähr gleich pjg des Unterschiedes der beiden für a;/ + _> erhaltenen Werte. Die 

 Genauigkeit dieser Art der Bestimmung der Grössenordnung des Fehlers ist, wie aus der Tabelle 

 hervorgeht, recht gut. 



Dritter Abschnitt, 

 über die praktische Durchführung der angenäherten Integration. 



§ 12. Die Methode der sukzessiven Approximationen. 



46. Wenn irgendwie eine Integralkurve des Systems 

 (66) g' = /(«,x,?/,...), ^j| = 3(«,x-.2/, ...),... 



durch eine Anzahl von passend verteilten Punkten angenähert bestimmt worden ist, aber noch 

 nicht mit der gewünschten Genauigkeit, so kann man in sehr einfacher Weise von dieser ersten 

 Approximation zu einer besseren gelangen, ohne die ganze Rechnung aufs neue durchzuführen. 

 Dabei genügen auch ganz rohe Näherungswerte für die Koordinaten der Punkte. Man kann sogar 

 von ganz beliebigen Werten ausgehend schrittweise sich der richtigen Integralkurve nähern ganz 

 ohne vorherige Kenntnis des Verlaufs derselben. Es ist jedoch von Vorteil, wenn die erste Appro- 

 ximation schon einigermassen genau ist, und daher behandeln wir das betreffende Verfahren, 

 das auch als Iterationsmethode bezeichnet wird, hier nicht als eine selbständige Integrations- 

 methode, sondern als ein Mittel zur Verbesserung schon vorhandener Näherungen, die etwa nach 

 den Methoden der vorherigen Abschnitte oder auf graphischem Wege gefunden sind. ^* 



^^ Die Methode i.st ur.sprünglich von Picard in Anwendung gebracht worden. Später haben u. a. 

 E. LiNDELöF, Runge und Cotton daran gearbeitet. 



>";o 13. 



