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Obgleich wir uns in dieser Abhandlung nicht mit der graphischen Integration beschäftigen, 

 wollen wir hier hervorheben, dass diese bisweilen das geeignetste Mittel zur Auffindung einer 

 ersten Approximation bildet. Denn die graphischen Verfahren liefern im allgemeinen rasch eine 

 Übersicht über den Verlauf der Integralkurven und eignen sich somit zur Vorbereitung und 

 teilweise zur Kontrolle der Rechnung, falls sie nicht selbst den erwünschten Genauigkeitsgrad 

 erreichen lassen. 



46. Wir denken uns (66) durch das System von Integralgleichungen ersetzt 



(67) X'=Xo+ I f{l,x,ih. . .)dt, ij = yo+ j (Jit,x,y )dt,. . . 



und nehmen an, dass man sich von der Existenz einer den Anfangsbedingungen entsprechenden 

 Lösung überzeugt hat. 



Wir bezeichnen allgemein mit a;"''(f), 'j7"''(0' • ■ ■ (^* = 1, 2. . . .) ein System von Näherungs- 

 lösungen von (67). Tragen wir diese Funktionen in die Integranden ein, so ergibt sich ein neues 

 System von Näherungslösungen 



(68) a:<" '-'> = a;o+ I f(t,x'"\y'"' )c//., i/*"+ii = j/o+ j g(l,x^"\y^"\ . . .)dt 



'. '. 



Es lässt sich nun bew'eisen, dass a;<" + ", y"' + ", ... in der Nähe von /„ bessere Näherungen 

 für x{t),y{t) sind als a;'"\ y<"\ . . . 



Um die Fehler der einzelnen Näherungsfunktionen zu untersuchen, bilden wir aus (67) und 

 (68) die Unterschiede cc — a;(" + '', y — y(" + ^', . . . und geben ihnen auf Grund des Mittelwert- 

 satzes für Funktionen mehreren Veränderlichen die Form 



a:-.T(" + »= j [f'ji, £ .y,.. . ) {x -a;'">) + /; (t, x, ^ , .. .) {y -y'-"^) + ■ ■ ■]dt, 



/ 



l/-2/'"+"= f {g'jL.r,y....)ix -x^"') + g;^{l,x, f]\...)(y-y '■<)+■■ -{dt, 



Die auftretenden partiellen Ableitungen von f, g, . . . sind für gewisse W^erte der Veränderhcheu 

 im Bereich x, x'"\ y, y'"', ... zu berechnen. Wir nehmen an, /^', /J, ■ ■ • seien in dem genannten 

 Bereich absolut genommen nicht grösser als eine Zahl M, und ebenso seien die absoluten Beträge 

 von g[,g',... für die in Betracht kommenden Werte nicht grösser als JV etc. Ferner mögen 

 rf„, £„, ... je den grössten absoluten Betrag von x — x(">, y — y'"'' , . • • im Intervall von t^ bis t 

 bedeuten. Dann ist 



d„ + i<M{d„ + t„ + ---)\t-io\^ f„ + i<A^(()„ + f„ + •••)!«- «ol,- •• 

 und folghch 



d„ + i + £„ + 1 + •••<; (M + ]V + . ■•)(ô., + f,. + ---)\t-l.„ . 



Das Intervall t—to kann so klein gewählt werden, dass die Grösge {M + N -\ )if— (»l 



kleiner wird als ein echter Bruch x. Dann hat man 



å„^i + f.„ + i + - ■■<:x{ô„ + t„-\ )<z''(di + fi 4- •• •), 



Tom. L. 



