über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 45 



woraus hcrvorji-cht, dass die ijrössten Fehler der Näherungslösungen mit zunehmendem n inner- 

 halb des bestimmten Integrationsintervalls beliebig klein gemacht werden können. Zu beachten 

 ist, dass die Näherung .-k'" + '', ■//'" + ". . . . nicht in jedem Punkte genauer zu sein braucht als 

 die vorherige x'"\ y"'\ ... 



47. Bei der praktischen Anwendung lohnt es sich im allgemeinen nicht, die Grössen M, N. . . . 

 im voraus zu erraittehi, um das zulässige Integrationsintervall zu bestimmen, denn das Aufhören 

 der Konvergenz ist aus dem Verhalten der einzelnen Näherungen deutlich genug zu ersehen. 



In dem Beweis wurde vorausgesetzt, dass die wiederholten Integrationen exakt ausgeführt 

 werden, allein in der Praxis ist man gezwungen, zu diesem Zweck die Quadraturformeln des zwei- 

 ten Abschnitts anzuwenden. Es gilt daher, die Intervallbreite w so klein zu wählen und die Rech- 

 nung mit so viel Stellen zu führen, dass sowohl die Fehler der Integration als diejenigen der Ab- 

 rundung für die Konvergenz der Iterationsmethode unschädlich sind. 



Sollen die Werte der gesuchten Funktionen mit einer vorgeschriebenen (lenauigkeit berech- 

 net werden, so muss man sich also vor allem davon überzeugen, dass die benutzte Integrations- 

 formel für diesen Zw^eck hinreichend genau ist. Nur dann kann man, bei der Übereinstimmung 

 aufeinander folgender Näherungen, die letzte für ausreichend genau halten. 



Es sind noch ein paar Bemerkungen zu machen. In die Integranden trägt man stets die 

 besten bisher bekannten Näherungsfunktionen ein. Wenn z. B. x'-" + '^^ mit Hilfe von x'-"\ y'"', . . . 

 ermittelt sind, wird i/<" + '' mittels a;<" + ". y'"'. . . . berechnet, also nicht mittels cc'"', y"'\ wie das 

 im Beweise aus Symmetriegründen geschehen ist. 



Soll eine nach den Methoden des ersten Abschnitts berechnete Lösungskurve durch Inte- 

 gration verbessert werden, so kann man mit Vorteil die Formeln von Newton-Cotes anwenden, 

 weil es dann nicht nötig ist, das Differenzenschema zu bilden. 



§ 13. Beispiel der sukzessiven Approximation. 



■4b. Um die praktische Brauchbarkeit des eben besprochenen Verfahrens zu beleuchten, 

 behandeln wir ein numerisches Beispiel, iiämlich das der Differentialgleichung 



(69) x" = ~x. 



Diese hat Störmer mittels der Formel (54) integriert ^' und zwar mit den Anfangsbedingungen 

 x= 10' und x' = für * = und unter Benutzung der Differenzen bis vierter Ordnung einschl. 

 Er hat die Rechnung von ( = ü ° bis ( = 180 ° dreimal duixhge führt, so dass er der Reihe nach 

 die Intervallbreitfin ^^, ~, ^ benutzt. Die aus der zuletzt genannten Integration resultierenden 

 Werte von x sind in der folgenden Tabelle angegeben nebst dem Störmerschen Differenzenschema. 



" Störmer: Résultats des calculs numériques des trajectoires des corpuscules électriques dans le champ 

 d'un aimant élémentaire, III, S. 41—49 (Videnskapsselskapets Skrifter, Math.-naturv. Kl. 1913, Nr. 14, Kris- 

 I tiania). Ober die Art, in der die Rechnung begonnen wird, werden wir später reden. 



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