über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 47 



sehen Methode rechnen oder aber die fehlenden Differenzen vorläufig durch Extrapolation er- 

 mitteln und bei dem letzten Schritt die Formel (62)' wicderliolt anwenden, wie das in Nr. 31 aus- 

 einandergesetzt wurde. 



Kiii" den Fall w = f^ sind die so verbesserten Werte x'-' in unserer Tabelle angegeben und 

 ebenso, in einer mit d überschi'iebenen Kolumne, die eintretenden Änderungen der Funktions- 

 werte, d.h. der Grössen -x[^) . Die erhaltene zweite Approximation ist wesentlich genauer 

 als die direkt mit der halbierten oder mit der geviertelten Intervallbreite berechnete, ja sogar 

 besser als die aus diesen durch wiederholte Integration erhaltene, denn hierbei ergäben sich nur 

 ganz kleine, dureli die Abrundung bedingte, zufällige Änderungen. 



Die noch einmal mit m = '^, durchgefülu'te Integration ergab in den Werten a;<2) für f = 108°, 

 120°, 132°, 144°, 156°, 168° je 'eine Korrektion von - 1. Die weiteren Wiederholungen der Inte- 

 gration würden dann keinerlei Änderungen mehr verursachen. 



§ 14. Allgemeines über die Wahl der Integrationsmethode. 



50. Der Zweck einer numerischeu Integration von Differentialgleichungen erfordert bis- 

 weilen nur die Ermittelung einzelner Funktionswerte von gewissen Partikularlösungen. Man 

 bestimmt also nur wenige Punkte von einigen Integralkurven, ohne sich für den weiteren Verlauf 

 derselben zu interessieren. In solchen Fällen empfiehlt sich die Rungesche Methode von selbst. 



Soll aber eine Integralkurve in einem längeren Intervall genau verfolgt werden, so entsteht 

 die Frage, ob die Quadraturenmethode (Summationsmethode) der Rungeschen nicht vorzuziehen 

 sei. Hierüber zu entscheiden sowie die Intervallbreite passend zu wählen, ist im allgemeinen 

 schwierig, wenigstens bei vöUiger Unkenntnis des Verlaufs der Integralkurven. 



Mit den im ersten Abschnitt entwickelten Formeln können wir eine Approximation höch- 

 stens der fünften Ordnung erzielen, bei der also das Restglied die sechste Potenz der Intervall- 

 breite M. (oder «) als Faktor enthält. Unter Anwendung der Quadraturenmethode dagegen 

 tritt in dem Restglied schon eine höhere Potenz von o) auf, sofern wir mehr als die vier ersten 

 Differenzenkolonnen in Betracht ziehen. 



Allein der Exponent von w ist für die Grösse des Fehlers nur dann massgebend, wenn w sehr 

 klein ist. Zu beachten ist nämlich, dass in den Fehlerausdrücken Ableitungen auftreten, die füi- 

 gewisse Mittelwerte ï zu berechnen sind, und dass in dem Restglied der Taylorschen Reihe der 

 Spielraum für § nur ein Bruchteil von dem in den Restgliedern der Quadraturformeln vorhande- 

 nen ist. Denmach ist es sehr wohl möglich, dass die Taylorsche Reihe, und daher auch die Run- 

 gesche Methode, genauere Resultate liefert als die Quadraturenmethode, obgleich die Restglieder 

 der ersteren niedrigerer Ordnung in m sind. 



51. Um das Gesagte deutlicher zu machen, nehmen wir an, es handle sich um die Differen- 

 tialgleichung (80), und weiterhin, dass die Werte x, für ?i = 0, — 1, - 2, . . ., d.h. für die Werte 

 (31) von t bekannt seien. Die Integration von (30) ist nun gleichbedeutend mit der Aufgabe, die 

 Fläche zwischen der in einem Koordinatensystem (t,x') gezeichneten Kurve C mit der Gleichung 

 x' = f{t. x) = f{l), der f-Achse und zwei Ordinaten, etwa die zu t^ und t gehörigen, zu be- 



N:o 13. 



