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E. J. Nyström. 



stimmen, wobei man also eine Anzahl Punkte der Kurve (t = (,, x' = /,) für ?' = — 1. — 2, . . . 

 schon kennt. 



Nach der »Runge-Kuttaschen Formel» (6) geschieht diese Bestimmung, nachdem man den 

 unbekannten Bogen der Kurve C durch einen anderen ersetzt, der mit der ersteren eine vier- 

 punktige Berührung für / = (o hat. Es werden vier Funktionswerte f{t, x) berechnet, und zwar 

 ermittelt man die Ordinate /„, zwei Funktionswerte in der Nähe von fo + ö"' und einen Punk- 

 tionswert in der Nähe von (o + '" ^ welche Werte nur wenig von den Ordinaten der Kurve C in 

 den Rmkten /q + ^w und to + f, bzw., abweichen. 



Ziehen wir dann die Anwendung dei' Quadraturformel (41) zum Vergleich heran. Diese 

 setzt nur die Berechnung der einen Ordinate /o voraus, benutzt aber mehrere der bekannten 

 Ordinaten von C. Die Idee ist, durch die bekannten Rinkte von C eine glatte Kurve zu legen 

 und die von dieser und den genannten geraden Linien eingeschlossene Fläche zu berechnen. 



Fig. 1. 



Hat C etwa die in der obenstehenden Figui* angedeutete Form, so gibt die Rungesche Me- 

 thode einen viel besseren Näherungswert füi' die genannte Fläche. Denn wie viele der bekann- 

 ten Punkte von C man auch berücksichtigen mag, so kann man die Gestalt der Kurve zwischen 

 /o und (i doch nicht voraussehen. Man wird nur dazu verleitet, für /i einen negativen Wert anzu- 

 nehmen, während diese Grösse nach der Figur positiv ist. Die Intervallbreite w ist in diesem 

 Falle also viel zu gross gewählt. Dagegen würde die Rungesche Methode vielleicht bei noch grös- 

 serer Intervallbreite benutzt werden können, denn die dabei angewandte Näherungskurve hat 

 mit C für t = t^ eine Berührung höherer Ordnung als der Krümmungskreis im Rinkte t= /q- und 

 letzterer entfernt sicli ja im ganzen Intervall von /„ bis i^ nicht merklich von C. 



52. Es ist natürlich vorteilhaft, die Schritte möglichst gross zu halten, denn erstens wird 

 dabei direkt an Arbeit gespart, und ferner hat das den Vorteil, dass die Fehler der x, sich weniger 

 summieren. Sonst können diese Fehler derart anwachsen, dass die Rechnung mit den grösseren 

 Schritten in der Tat genauere Resultate liefert. Hiervon haben wii- ja im vorigen Paragraphen 

 ein Beispiel gesehen. 



Man sollte also die Rungesche Methode der anderen vorziehen, wenn sie die Anwendung 



Tom. L 



