Z/her die numerische Integration von Differentialgleichungen. 49 



längerer Schritte gestattet, oliiic dio Arbeil zu sdii' zu vermehren. Genaue Regeln hierfür können 

 kaum gegeben werden. 



Wir wollen an dieser Stelle nur beispielsweise folgendes erwähnen: In dem schon zitierten 

 Werk von Bashforth und Ad.\ms werden Differentialgleichungen zur Bestimmung der Gestalt 

 von liegenden und hängenden Tropfen ausgewertet. Einige solche hat Hugo Koch später nach 

 der Runge- Kuttaschen Methode behandelt und ist zu dorn Schluss gelangt, man käme nach die- 

 ser Methode in derselben Zeit mehr als doppelt so weit wie nach der Adamsschen, eben weil man 

 grössere Schritte machen könne. ^^ Koch äussert an einer anderen Stelle ^* die Meinung, die Runge- 

 Kuttasche Formel könnte bei der numerischen Behandlung des Dreikörperprohlems ausgedehnte 

 Anwendung finden. Wenn das der Fall ist, wiirden unsere Formeln noch geeigneter sein. 



Ein Beispiel, bei dem die Summationsmethode am leichtesten zum Ziele führt, findet sich 

 bei Krtloff. ^" 



Es muss noch hervorgehoben werden, dass das Differenzenschema ein selir einfaches und 

 ziemlich sicheres Mittel gewährt, um zu entscheiden, ob die Intervallbreite klein genug ist. 

 Dazu hat man den Einfluss der ersten vernachlässigten Differenzen zu überschlagen. Zugleich 

 bietet der regelmässige Gang der Differenzen eine Art Sicherheit gegen Rechenfehler. Da es 

 entsprechende einfache Kriterien bei der Rungeschen Methode nicht gibt, wird man in zwei- 

 felhaften Fällen sich fiii" die Summationsmethode entscheiden. 



f>3. Hat man sich füi' den Gebrauch einer der beiden Hauptmethoden entschieden, so 

 bleibt noch zu überlegen, welche der vorhandenen Formeln man anwenden soll. 



Was die Rungesche Methode betrifft, kommt für Systeme der ersten Ordnung hauptsächlich 

 (7) in Betracht und für solche der zweiten Ordnung die Systeme Nr. II und V, falls etwa-in dem 

 letzteren Falle nicht die einfacheren Nr. I und IV genügende Genauigkeit ergäben. 



Bei der Anwendung der Summationsmethode wird im allgemeinen die letzte berücksichtigte 

 Differenzenkolonne nur kleine, meistens einen etwas unregelmässigen Verlauf zeigende Grössen 

 enthalten. Wollte man also mit Hilfe des Differenzenschemas extrapolieren, so müsste man diese 

 letzte Differenz als konstant und gleich dem arithmetischen Mittel der bisher bekannten anneh- 

 men. Eben dies wurde aber in Nr. 38 als ein unnötiger Umweg befunden. Daher ist für einfache 

 Quadraturen die Adamssche Formel (36) oder die mit einfacheren Koeffizienten versehene (41) 

 am meisten zu empfehlen, und für zweifache Quadraturen die Störmersche Formel (54). ^i Nur 

 wenn die Beträge der genannten Differenzen stark anwachsen, kann es von Vorteil sein, die 



2* Hugo Koch: Lieber die praktische Anwendung der Runge-Kuttaschen Methode zur numerischen 

 Integration von Differentialgleichungen (Dissertation, Göttingen 1909, S. 18 — 29). Ad.\ms hat in der ge- 

 nannten Arbeit sich der Formel (43) bedient, nicht der von ihm aufgestellten (36). 



" Ibid., S. 31. 



^ A. N. Kryloff: Angenäherte numerische Integration gev^'öhnlicher Differentialgleichungen, (in rus- 

 sischer Sprache), Berlin 1923, S. 39 — 42. Es handelt sich hier um die Differentialgleichung y' = f/x + ^y. 



" Kryloff hat (loc. cit S. 4 f und 71 f) die Vorzüge der Formeln, die nur bekannte Differenzen ent- 

 halten, ausdrücklich hervorgehoben und gezeigt, dass durch Benutzung der Formel ('M)) die Adamsschen Rech- 

 nungen leichter ausgeführt werden können. 



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