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nächstfolgenden schätzungsweise zu bestimmen und nach Nr. 31 eine der anderen Formeln wie- 

 derholt anzuwenden. 



Jedenfalls wird es aher gut sein, nach einigen Schritten über den bisher berechneten Teil der 

 Integralkurve nochmal zu integrieren, um die bisher berechneten Werte zu verbessern und so- 

 mit eine starke Anhäufung der Fehler zu vermeiden. Für diesen Zweck sind die Gaussschen For- 

 meln (48)' und (62)' am meisten geeignet, denn sie benutzen zum Teil Funktionswerte ausser- 

 halb des Integrationsintervalles, die bei den anderen Formeln nicht berücksichtigt werden, und 

 liefern daher vermutlich etwas genauere Eesultate. Audi sind ja die Koeffizienten dieser For- 

 meln für die Rechnung sehr bequem. 



Die Vor- und Nachteile der Steffensenschen Formeln wurden schon in Nr. 28 besprochen. 



§ 15. Ergänzende Bemerkungen betreffend die Summationsmethode. 



64. Während die Rechnung nach der Rungeschen Methode stets in der gleichen Weise fort- 

 schreitet, bedarf es bei der Summationsmethode für den Anfang besonderer Vorschriften, weil 

 man nämlich schon einige Werte der gesuchten Funktionen kennen muss, um die Quadratur- 

 formeln anwenden zu können. 



Die betreffenden Funktionswerte kann man sich etwa in der Weise verschaffen, dass man 

 nach irgend einer Formel des ersten Abschnitts einige Schritte berechnet, und zwar mit konstan- 

 tem A t (= w) . Dieses Verfahren ist nach Nr. 2 und 23 der bisweilen gebrauchten Methode der 

 direkten Reihenentwicklung vorzuziehen. 



Einen anderen Ausweg bietet die sukzessive Approximation. Wir fassen den Fall eines 

 Systems (66) ins Auge. Zuerst werden die Anfangswerte der unabhängigen Variablen und der 

 gesuchten Funktionen l„. x„, y... . . . in die Differentialgleichungen eingesetzt, wodurch sich die 



Werte /„ , g ergeben. Dann können wir angenähert setzen 



a;„4 1 = Xr, + /„w, y., + \ = y. + S:'", ■ ■ ■ 

 x„ - 1 = x„ - - f„ et , y.,-\ = y,. — g„ «>,... 



und können damit Näherungswerte, wenn aucii sehr rohe, für /„ i, /„ _i, c/„ + 1, gi„_i, . . . berech- 

 nen. Darauf bilden wir die Differenzen erster und zweiter Ordnung, die sich aus den bisher (ange- 

 nähert) bekannten Funktionswerten ergeben (auf je einem Blatt für jede vorkommende Funktion), 

 und benutzen dieselben, um die Formel (41) auf den Schritt von l„ + i bis (.„ + 2 anzuwenden. Nach- 

 dem wir so Werte für x,,^ o, j/„ - 2. • • • bekommen haben, berechnen wir /„ + 2, S'a + 2, . . . und er- 

 gänzen die Differenzenscliemata. Sodann werden genauere Werte für x„ + u a:„ + 2, y„ + u ya + 2, ■ ■ ■ 

 mittels (41) oder (43) berechnet, mit deren Hilfe die Funktionswerte /„^.i, g„ + u ■ ■ ■ und deren 

 Differenzen verbessert werden. Die Formel (41) wird nun auf den Schritt von «„ + 2 bis la + 3 auge- 

 wandt und so geht es weiter, indem man nach und nach die bisher berechneten Werte verbes- 

 sert. Nachdem die Differenzenschemata mit genügend vielen Kolonnen sicherer Werte auf- 

 gebaut sind, geht die Rechnung in der früher beschriebenen Weise rasch weiter. Soll ein System 

 von Gleichungen zweiter Ordimng integriert werden, kann man statt (41) die Formel (54) an- 

 wenden, wobei nur kleine Modifikationen des geschilderten Verfahrens nötig sind. 



Man könnte auch, wie Störmer vorschlägt, die Werte Xa + i,Xu + 2. y„ + i,y„ + 2, ■•■ mittels 



Tom. L. 



