über die numeiiKche Integration vun Diffeifinfialgleù-liioiyev. 51 



(1er Taylorschon Reihen bestimmen, wobei m;ui die nötis'on Werte der Ableitungen mit llilfi' 

 von Differenzen berechnete, etwa unter Anwendung der »Markoffschen» oder ähnlicher Formeln. 3- 

 Die Ingangsetzung der Rechnung kann oft diircli Symniefrieeigenschaften der Differential- 

 gleichungen erheblich erleichtert werden. 



65. Es kommt oft vor, dass die anfangs benutzte Intervallbreite «i. auch wenn sie passend 

 gewählt war, später sich als unzweckmässig erweist und geändert werden muss. Bei der Runge- 

 schen ^lethode kann die Änderung ja ohne weiteres geschehen, bei der Quadraturenmethode 

 dagegen nicht so leicht. 



Man wird gewöhnlich in solchen Fällen entweder eine Verdoppelung oder eine Halbierung 

 der Intervallbreite « vornehmen, da eine anderweitige Änderung derselben viel mühsamer ist 

 und es überhaupt schwierig ist zu ersehen, welcher der vorteilhafteste Wert von &) sei. 



Die Verdoppelung der Intervallbreite geschieht, indem man aus den bisher berechneten 

 Funktionswerten jeden zweiten herausnimmt, aus ihnen ein neues Differenzenschema (für jede 

 Funktion) bildet und mit den letzteren die Rechnung fortsetzt. Würde die Anzahl der berech- 

 neten Funktionswerte nicht genügen, so hat man zu verfahren wie bei der Ingangsetzung der 

 Rechnung. 



Um eine mit der Intervallbreite w etwa bis / = t„ geführte Rechnung von hier au mit T, 



fortzusetzen, müssen die Werte der gesuchten Funktionen für /„— .7, t„^r,M, . . ., d.h. j;„-.i, , 

 x„^i,... ermittelt werden, was mit gewöhnhchen Interpolationsformeln geschehen kann. 

 Darauf berechnet man die entsprechenden Funktionswerte /„-.i, g^-!,, ■■■, welche zusam- 

 men mit /„, g„, /„_i,ö(„_i, ... zur Aufstellung der neuen Differenzenschemata dienen. 



Man kann die Werte a;„_.i , .x\,_,n , . . . auch unter Benutzung der schon vorhandenen Diffe- 

 renzenschemata bestimmen. Die hierzu nötigen Formeln erhält man unmittelbar durch Inte- 

 gration von (35). Es ergibt sich 



I. Einfache Integration 



^' J V. "^^' ^1-8' -'^2-:^4' ^3-128' ^4^5760, ^« = 



539 



46080 ' 



IL Zweifache Integration 



2 



2 " 



£•= f dn r «(^ + l)--'« + »-l) . F _ 1 L^ _ 1 p _ 5^^ P 49 311 



^' J'^''] V. *'''' ^»-18' ^2-,-28' •'^a-nïôO ^^ = 15360' ^5=Î2902Ï' ••• 



n 



Analoge Formeln gelten natürlich für ?/„_., ... Um x„^■^, 2/„_||, . . . zu bekommen, hat 



man obige Formeln auf den unmittelbar vorangehenden Schritt anzuwenden. 



^' Störmer, loc. cit. l^ S. 67—70. — A. A. Markoff: Differenzenrechnung (deutsche Übersetzung), 

 Leipzig 1896. S. 20 ff. 



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