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E. J. Nyström. 



§ 16. Beispiel aus dem Zweikörperproblem. 



56. Wir wollen noch ein Beispiel der angenäherten Integration behandeln, das nicht so 

 einfach ist wie dasjenige von Nr. 48, andererseits aber doch einen Vergleich mit dem exakten 

 Integral zulässt. Ein solches bietet das Zweikörperproblem. 



Ein Planet P möge, von einem Zentralkörper S a,ngezogen, eine Ellipse von der Exzentrizi- 

 tät e = ^ beschreiben (Fig. 2). ^^ Wir wählen die mittlere Entfernung a zwischen P und S zur 

 Längeneinheit und, um die folgenden Rochnungen möglichst bequem zu gestalten, bestimmen 

 wir die Zeiteinheit derart, dass die ganze Umlaufszeit T gleich 36 wird. Wir bezeichnen die (recht- 

 winkligen) Koordinaten des Körpers P in bezug auf Ä mit x, y und denken uns dabei die positive 

 X-Achse gegen das Aphel A von P gerichtet. Von dem Durchgang des Planeten durch A wollen 

 wir die Zeit t rechnen. Die Bewegungsgleichungen lauten dann 



(70) 



^7v = -fc-(l +m.) ^._ = f{x,y), 



gi^^JcH^+m)^^ 



9(x,y) 



wo r^ = x'^ + xj^ ist, k^ die Gravitationskonstante und m das Verhältnis der Massen von P und 

 S bezeichnet. Aus der Gleichung feM 1 + »0 T^ = 4 jt^ o^ bekommen wir mit a = 1 und T = 36 



/c* (1 + m) = -^^ . Die Koordinaten des Aphels sind a^o = 1 + ^ = 1.866025403 , 1/0 = 0, und die 

 Geschwindigkeitskomponenten in diesem Punkt sind u^=x'q = 0, i'g= yp' = 0.046765968, wobei 



die letztere Zahl mit Hilfe der Relation xv — yu = const = ] k^ {1 + m) • ] a (l — e^) berechnet 

 worden ist. 



Wir stellen nun zwei, unabhängig voneinander zu behandelnde Aufgaben. 



ö7. Es soll der Ort sowie die Geschtvindigkeit des Planeten zu irgend einer gegebenen Zeit, etwa 

 1=4:, bestimmt werden. 



Die Aufgabe wird am einfachsten durch eines unserer Formelsysteme, etwa Nr. I. II oder 

 III a erledigt. Das Resultat wird; 



Würde die Genauigkeit der Formel III auch nicht genügen, so müsste man den gesuchten Ort 

 des Planeten durch kleinere, aufeinander folgende Schritte zu erreichen versuchen, eventuell 

 eine Rechnung nach der Summationsmethode beginnen. 



'' Vgl. das von E. Strömgren in Meddelanden Iran Lunds Astronomiska Observatorium N:o 13 gegebene 

 Beispiel, v/o es sich um eine Kreisbahn handelt. 



Tom. L. 



