über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 



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68. 'Es wird verlangt, für den Planelen eine Ephemeride vom Aphel bis zum Perihel mit einem 

 konstanten Intervall, etwa At= 1, su berechnen. 



Zuerst berechnen wir mittels der Formel Nr. II vom Aphel ausgehend zwei Schritte von der 

 Grösse A < = 1 und finden 



für 1=1 a;i= 1.861648Ô, yi = 0.0467294 

 für t=2 0:2=1.8484850, ya = 0.0932377 . 



Die erhaltenen Werte sind auf sieben Dezimalstellen genau. Um dies festzustellen, könnte man 

 einen Schritt von der Grösse 2 machen — was nur eine einzige neue Funktionsberechnung erfor- 

 derte -~ und würde finden iCj = 1.8484852, 1/2 = 0.0932378. Nach Nr. 24 ist der Fehler der 

 Integration viel kleiner als derjenige der Abrundung. 



Wir können nun vermuten, dass die Summationsmethode bei der Intervallbreite A f = 1 , 

 wenigstens für- einen Teil der Bahn, eine gute Konvergenz zeigen werde und dass dieselbe daher 

 den anderen Methoden vorzuziehen sei. Zur Ingangsetzung der Rechnung können wir die Funk- 

 tionswerte fo. fi. fi, go^ (Ji- 92 benutzen und ausserdem noch f-2,f~i,g-i,g--i- da infolge 

 (70) /-, = /. und g_,= ~ g.^ (t=l,2,...), ist. 



Hätten wir uns von vornherein für die Summationsmethode entschieden, so wäre es am be- 

 quemsten, die Rechnung auf folgende Weise zu beginnen: 



Nach der Formel Nr. II berechnen wir nur 



Xi_ = Xo-\-Ua + -^fo +^f {x +^^'x,y +-^^'y), A'a; = «0+5/0. 

 yi = yo + Vo^-'^ga + ^g(x^r,t^'x,y+^L'y), A'i/= yo +4^10. 



und finden 3^1 = 1.8616486, i/i = 0.0467294. Mit diesen Werten werden /1,^1 berechnet und die 

 auf der S. 54 angeführten Differenzenschemata aufgestellt, und nun ergeben sich mittels (54) 

 schon so genaue Werte für 2:2, 2/2. dass /2, g-i sich mit der erforderlichen Genauigkeit berechnen 

 lassen. Darum kann die Rechnung von jetzt an in der regulären Weise mittels (54) geführt 

 werden. 



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