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Hj. Tallqvist. 



(107) 



'/^ 



2 ecos xi> + e^ 



e cos i^ ) ' 



dtp 



p esin rp 



( 1 + e cos ip) j/ 1 + 2e cos ip + e^ 



y 



j/l +2ecos ip + e- 



Wie im Art. 6 gefunden, ist diese Kurve bei der Parabel als Erzeugenden die gewöhnliche 

 Kettenlinie, während man bekanntlich bei der Ellipse und der Hyperbel bez. die Meridian- 

 kurven der n d u 1 i d e und N o d o i d e genannten Flächen erhält, denen die Eigenschaft 

 zukommt nebst der Kugel und der K ateno ide (Rotationsfläche der Kettenlinie um ihre 

 Leitgerade) die einzigen Rotationsflächen mit konstante]' mittlerer Krümmung zu sein (siehe 

 L. L. LiNDELÖK, Surfaces de révolution à courbuiv. moyenne constante, Acta Soc. Scient. 

 Penn., T. VIT, 1863). Von diesen sog. Delaunay'schen Kurven (G. Loeia, Spezielle 

 algebraische und iransscendente ebene Kurven, Leipzig 1902. p. 509) ist die Meridiankurve 

 der Onduloide eine periodische, wellenförmige Linie, die Meridiankurve der Nodoide eine perio- 

 dische Kurve mit Doppelpunkten und Schleifen. 



Es werde hier noch die Differentialgleichung dieser Kurven abgeleitet. Wenn dl ihr 

 Bogendifferential bezeichnet, so hat man, indem ihre Tangente senkrecht auf CF steht. 



dx 



dy 



(108) -^^ = sm ( (// + ^ ) ; ^1 = - cos {ip + ^). 



Man berechnet, mit Anwendung der Formeln (104) und des zweiten Ausdruckes (107), 



1 + 2 r cos 1/' + e^ = ^ = 2 (1 -h p cos 0) — (1 



p dx 



oder 

 (109) 



2]/ 1 + 2ecos(// + e2sin(i/' + ^)--(l -e^) = 2 ^ ^-(l-e^) 



dx 



(l-e2)?/2-2py^+p2 = 



und dies ist folglich die gemeinsame Differentialgleichung aller Delaunay'schen Kurven. 

 Wenn die rollende Kurve eine Parabel ist, so hat man c = 1 und erhält 



(HO) 



dx 

 2 ^ 



dl 



y 



+ 



dy 



j/y' 



.r 



sowie nach Ausführung der Integration wieder die gewöhnliche Kettenlinie 



(111) y = 'p\e^ +e~ y), 



wie im Art. 6. Ist die erzeugende Kurve eine Ellipse mit den Halbaxen a und &, hat man 



h 



- e- • 

 6^ 



(112) 



P 



j/r 



'^ a 



und erhält aus (109) die Differentialgleichung 



a' 



(113 a) 

 oder - 



dx 



y^-2ay'^+b^ = 



dl 



Tom. L. 



