Untersuchnifirv über rollende Bewefivnfi. 



33 



d» 



1 drp 



drp 



(258) ., = ^=-2,>os;v'i| = ->2(l + COSy)^^ 



und boi der dynamischen Aul'i;'abe, dem üollen des Kreises unter dem Kinlluss der Seliwere 

 in seinem Mittelpuniit, die kinetische Energie 



(259) L = .^ (m + m,,) o^ «a = (m + m, ) r^ (l + cos vO( ^'f)" 

 und die Bewegungsgleichung 



(260) (w + WAOrMl + cos(^)(-|') + viy{a + r{l~ c()H(f)) = ?). 

 Mit Anwendung von )/ findet man 



(261) ( m + w 4. ) ~^^ ( ^) ^ = '' - w. .^? ?/ ■ 



Bei der Integration braucht man also nur elementare Funktionen, wie man es ja im voraus 

 weiss, mit Hinsieht auf das berühmte Problem der Bewegung eines schweren Punktes auf einer 

 Zykloide. 



Es muss sein 



(262) ''■ > inga ; * 



die Ausführung der Integration in (261), so dass für / = y = a. gibt 



(263) 



^ hArmg a _ h-mga ^^^ 1-,, mg ^ \ 



2mg -mg \ '' (,m + m,.)r ' / ' 



tg - mg \ ' {m + m ^.)i 



Die Rollschwingungen sind isokron mir der doppelten Periode von //, d.h. 



(264) 



T= 2.T 



// 



'( w + »nj.)4r 



mg 



unabhängig vom Radius des rollenden Kreises, wenn nur ;«;. dieselbe ist. Indem die Parallel- 

 kiirve der Zykloide im niedrigsten Punkte den Krümmungsradius b = 4)- + « hat, steht der 

 Ausdruck (264) in Übereinstimmung mit (224). 



Die Zykloide möge jetzt ihre konvexe Seite nach oben kehren und der Kreis auf einer 

 inneren Parallelkurve zu derselben rollen (Fig. 16). Die Gleichungen der Zykloide sind dann 



(265) Ï = r((/- + sin (/■); ?/ = a — r (1 — cos »/^ ), 



und es ergibt sich hieraus für Tangente und Bogenlänge 



(266) z = -U; "^ 



ferner als (rleichumien der Parallelkurve 



4 r sin ., <f , 



(267) 



/. = r{(fi + sin (f)~a sin .-, (f\ fi = a — r (1 — cos y ) ~ et cos ^ 9^ . 



Die (Tieichungen des rollenden Kreises sind 

 (268) ç- = asini/'; '/ 



die Beziehung zwischen 7 und (/' ist 



(269) 



und man leitet ferner alj 

 N:i> 15 



a cos (/', 



4rsin., ^ — ,, a</ = «i/' 



Vk 



