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2 M. FALK, 
deutigen analytischen Functionen, welche überall im Endlichen von 
rationalem Charakter sind. Es kamen allerdings in jenen Vorlesungen 
— und zwar schon in einer der ersten — auch noch einige allgemei- 
nere Untersuchungen über analytische Functionen eines Arguments, 
die ein algebraisches Additionstheorem besitzen, vor; aber diese Unter- 
suchungen, die übrigens von der beschränkenden Voraussetzung aus- 
gingen, dass die Functionen sich an der Nullstelle des Argumentes re- 
eulür verhalten, wurden nur theilweise vollführt, wie ich in der Ab- 
theilung 3 des hier folgenden Aufsatzes näher darzulegen versucht habe. 
Es wurde also unter Anderem dort nicht dargethan, dass jede mit 
einem algebraischen Additionstheoreme versehene eindeutige analytische 
Function eines Arguments nothwendig überall im Endlichen von ratio- 
nalem Charakter ist. 
Dass ich in den Vorlesungen über elliptische Functionen, die ich 
im Jahre 1903 an der hiesigen Universität hielt, mir das Ziel setzen 
musste, meine Zuhörer mit dem Inhalte und der Darstellungsart jener 
WEIERSTRASS'schen Vorlesungen vertraut zu machen, ist selbstredend 
nur eine Folge des oben Gesagten. Da ich aber zugleich auch noch 
die allgemeinen Sätze über diejenigen analytischen Functionen eines 
Arguments, welche mit einem algebraischen Additionstheoreme begabt 
sind, ausführlich auseinandersetzen wollte — natürlich ohne von der 
genannten WEIERSTRASS'schen Darstellungsart abweichen zu müssen —, 
so nahm ich jene allgemeinen Untersuchungen erst dann vor, als der 
Beweis des Satzes gegeben worden war, dass die nothwendige und 
ausreichende Bedingung dafür, dass eine eindeutige analytische Func- 
tion q(u), die überall im Endlichen von rationalem Charakter ist, ein 
algebraisches Additionstheorem besitzt, darin besteht, dass sie eine 
rationale Function entweder von u selbst oder von einer Exponential- 
utt 
function ew oder von einer Function g(w) und ihrer ersten Ableitung 
for (u) ist. 
So weit gekommen, trug ich dann — im Herbstsemester 1908 — 
den Inhalt des hier folgenden Aufsatzes vor, wobei ich — um so we- 
nig als möglich vorauszusetzen zu brauchen — zunächst als Vorbe- 
reitung einige nóthige Sätze über diejenigen analytischen Functionen 
eines Arguments gab, die in einem angegebenen Bereiche von alge- 
braischem Charakter sind, und dann schliesslich die Hauptaufgabe in 
Angriff nahm, wobei es mir also, wie gesagt, als vor Allem mass- 
gebend obliegen musste, den WEIERSTRAss’schen Gedankengang so genau, 
