ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ADDITIONSTHEOREME BESITZEN. 5 
irreductibel ist, so ist die Function im Bereiche (3) von al- 
gebraischem Charakter. — Der Einfachheit halber sei 
hier angenommen, dass die Grösse R, um ein beliebig 
Weniges kleiner ist als der kleinste von den wahren Con- 
vergenzradien der einzelnen Potenzreihen p(u) . 
In diesen Definitionen dürfen wir ferner annehmen, dass im be- 
treffenden Bereiche die Coefficienten plu) nirgends gleichzeitig den Werth 
Null annehmen — also in A für keinen endlichen, in B für keinen Werth 
von u, dessen absoluter Betrag < R, ist. 
Betrachten wir zunächst den Fall A. Die allen den Functionen 
p(u) gemeinsamen Nullstellen — jede genau so oft gerechnet, als ihre 
kleinste Ordnungszahl in Bezug auf die einzelnen Functionen p(u) an- 
giebt — besitzen offenbar die Eigenschaft, dass eine ganze Function G (x) 
gebildet werden kann, die dieselben zu ihren sämmtlichen Nullstellen 
hat!. Man sieht dann unmittelbar ein, dass auch jeder Quotient: 
pu) 
G(u) 
eine ganze Function von w ist. Dividiert man daher die Coefficienten in 
der Gleichung (2) durch G(u), so geht also eine Gleichung von der- 
selben Beschaffenheit hervor, wo aber jetzt fiir keinen endlichen Werth 
von « sämmtliche Coefficienten mehr verschwinden können. 
Der Fall B ist noch einfacher, da alsdann im Bereiche (3) keine 
der Functionen p(w) unendlich viele Nullstellen haben kann. Man kann 
daher eine ganze — hier sogar rationale — Function G(u) bilden, 
welche, wie oben benutzt, der Gleichung (2) die gewünschte Eigen- 
schaft ertheilt. 
In der Gleichung (2) kann man füglich die Zahl 2 den Mehrdeutig- 
keitsgrad der Functionsbestimmung nennen. Da man für 4 -— 1 das 
Resultat: 
T | piu) 
Polu) 
erhält, so haben wir zunächst den evidenten Satz: 
©. Wenn eine Functionsbestimmung in einem gewissen 
Bereiche gleichzeitig von algebraischem Charakter und vom 
ersten Mehrdeutigkeitsgrade ist, so ist sie daselbst von 
rationalem Charakter. 
1 Weierstrass, Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen. Art. 2. 
