ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ÄDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 7 
(u — us) ohne constantes Glied bezeichnen, und, wenn 2, = oo 
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ist, (2 — z,) wie gewöhnlich durch — zw ersetzen ist. 
Jede andere singuläre Stelle ist eine gewöhnliche aus- 
serwesentlich singuläre, und auch solche können in einem 
ganz im Endlichen liegenden Theile des Bereiches nur in 
endlicher Anzahl vorkommen. 
Da die Definition A in der Definition 33 enthalten ist, wenn man 
annimmt, dass es für die Gleichung (2) erlaubt ist, die Grösse RH, in 
der Bedingung (3) beliebig gross zu wühlen, ohne dass der Grad der 
definierenden Gleichung (2) ins Unendliche wächst, so können wir die- 
sen Satz mit einem Male für beide Definitionen folgendermassen be- 
weisen, wenn selbstverständlich noch vorausgesetzt wird, dass im Falle 
A die Coefficienten p(w) von gemeinsamen Nullstellen vollständig frei 
oder befreit worden sind. 
Es sei u = u, eine beliebige Stelle des Bereiches (3) und z= 2, 
eine Wurzel der Gleichung: 
Po (Uo) 27 + pi(u) ^7 +... + Dj -1()2 + py (vo) = 9, (5) 
die für u = u, aus (2) hervorgeht. Alsdann müssen wir zwei Fälle un- 
terscheiden, nämlich 
1) wenn 2, einen endlichen und 2) wenn 2, einen unendlichen 
Werth hat. 
1) Ist der Werth von 2, endlich, so setzen wir in (2): 
U=UMtI-v, 8-241 
unter der Voraussetzung, dass auch u, +v dem gemeinsamen Conver- 
genzbereiche der Potenzreihen p(u) angehört, und wollen diejenigen 
Werthe von ? suchen, welche der erhaltenen Gleichung genügen und 
sich der Grenze Null für unendlich klein werdendes v nähern. Um 
der Untersuchung eine einfachere Form zu geben, bezeichnen wir die 
jinke Seite von (2) durch 
Mara) 
wodurch die zwischen » und t erhaltene Gleichung die Gestalt: 
A De eh met) = DV (6) 
annimmt. Da ferner 2 = z, Wurzel von (5) ist, so hat man ebenfalls: 
Tus EIE (1) 
