ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ÁDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 9 
wo 3r) eine gewöhnliche Potenzreihe von v ohne constantes Glied ist. 
Für diese Functionsbestimmung ist folglich u = u, eine reguläre Stelle, 
und dies trifft also stets ein, wenn 2 = 4, wo 2, endlich ist, eine einfache 
Wurzel der Gleichung (5) ist. 
5) Wenn dagegen OC, =0 ist, so reduciert sich die Summe 
(10) auf: 
de a 
Cu a xx DEA Sen E 
wo 
> u Rotel GR 0 
ist. In diesem Falle kann man die Gleichung (9) auf die Form: 
u À 
là T. 
oS We m 
Cu u! 3r eee + C; AN + P (v E t) = 0 
bringen, wo }(v, ¢) eine gewöhnliche Potenzreihe von v, deren Coef- 
ficienten ganze rationale Functionen von / höchstens vom 4" Grade 
sind, und 
(0, 4) — 0 
ist. Für diesen Fall ergiebt sich aus dem »Vorbereitungssatze», dass es 
u — dem Satze D zufolge verschiedene — Bestimmungen von 2 giebt, 
welche für unendlich klein werdendes v sich der Grenze 2, nähern, 
und dass diese Werthe von 2 die Wurzeln einer Gleichung: 
@-aP +he@-a +... +%=0 (12) 
sind, wo f...., fu gewöhnliche Potenzreihen von (u — ı,) ohne con- 
stantes Glied bezeichnen. In diesem Falle ist also u = u, für die Func- 
tion 2 eine Stelle der Wiederholung, wobei jedoch nicht ausgeschlossen 
ist, dass in (12) ein Resultat von der Form (11), d. h. eine specielle 
Functionsbestimmung mit enthalten sein kann, für welche u = u, eine 
reguläre Stelle ist. 
2) Es erübrigt nur noch den Fall zu behandeln, wo 2, unendlich 
ist, welchen wir auf den Vorigen durch die einfache Substitution: 
2 = (13) 
reducieren, wobei also die Annahme 
, 
ZEE) (14) 
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser, IV: Vol. 1, Impr. ??/s 1907. 
