10 M. FALKE, 
für 4 = 4, zu machen ist. Die Definitionsgleichung (2) nimmt also hier 
die Gestalt: 
25 2 ale ARN af ? ^ = 
py(u)e ^ + pis (u)e * ^ +... Fp we + pi) 0 (15) 
an, wo offenbar p,(w) die Eigenschaft 
po) = 0 
haben muss, da (15) für «= u, durch (14) befriedigt sein soll. 
Bezeichnen wir die linke Seite von (15) durch f(w, 2’), so er- 
halten wir unmittelbar aus dem schon behandelten Falle die hier er- 
zielten Resultate, nämlich: 
y) Wenn 2'= 0 eine einfache Wurzel der Gleichung 
N) (16) 
ist, so hat man nach (11) 
2 = P(u — u), 
wo P(v) kein constantes Glied enthält, und folglich 
2 = (u — w) *. P(u — u), (17) 
wo k eine ganze positive Zahl und P(v) eine gewöhnliche Potenzreihe 
ist, die für v = 0 nicht verschwindet. Also 
Wenn für w= u, die Gleichung (2) eine einfache unendliche Wurzel 
hat, so ist für die entsprechende Functionsbestimmung 2 die Stelle u = u, 
eine ausserwesentlich singuläre. 
J) Ist schliesslich z' — 0 eine mehrfache Wurzel der Gleichung 
(16), so ergiebt sich vermittelst (12), dass man in der Nähe von # = % 
u (Aul 1) verschiedene Functionsbestimmungen von z’ erhält, die 
für «= u, den Grenzwerth 2 = 0 haben und durch eine Gleichung von 
der Form: 
Bl 
in der Nähe von u = ı, bestimmt sind, wo f;...,/, dieselbe Beschaf- 
fenheit wie in (12) haben. 
Gehen wir jetzt von 2’ zu 2 zurück, so haben wir also das Re- 
sultat erhalten: 
Wenn u = ı, eine Stelle der Wiederholung für die Function z ist, 
in welcher mehrere Functionsbestimmungen von 2 unendlich werden, so 
