ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ÄDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 11 
werden diese Functionsbestimmungen in der Nähe von w  w, durch 
eine Gleichung von der Form: 
E fi COE Wee ae rele (18) 
wo fi;,.... fu die schon erwähnte Beschaffenheit haben, gegeben. 
Auch hier ist es möglich, dass in (18) eine specielle Functions- 
bestimmung von der Beschaffenheit (17) enthalten ist, für die also die 
Stelle u = u, eine ausserwesentlich singuläre ist. 
Da die Gleichung (18) aus (12) dadureh hervorgeht, dass man 
für z, = © den Ausdruck z — 2, durch — ersetzt, so ist also der Satz © 
jetzt vollständig bewiesen. 
Im Falle der Definition YA ist es — wie gross auch eine end- 
liche reelle positive Grösse I gewählt sei — stets möglich, die Grösse 
RH, oberhalb LF so zu wählen, dass auf der Peripherie: u = R, keine 
singuläre Stelle für die Function 2 gelegen ist. — Um bei der Defini- 
tion B etwas Ähnliches zu bewirken, verfahren wir folgendermassen. 
Sei R der kleinste unter den wahren Convergenzradien der Potenz- 
reihen p(u), und Z' eine positive reelle Zahl kleiner als R. Dann 
schaffe man — wenn es nicht schon gethan ist — alle im Bereiche: 
u <R° vorkommenden gemeinsamen Nullstellen der Functionen p (1) 
weg und wähle zuletzt — was dann auch stets geschehen kann — 
die positive reelle Grösse À, < R’ so, dass auf der Peripherie: | wv) = R, 
keine singulären Stellen für die Function 2 sich befinden. Es ist aus 
dem Vorhergehenden ohne Schwierigkeit ersichtlich, dass dies stets so 
geschehen kann, dass die Differenzen 
R — R' und R' — R, 
kleiner als eine beliebig kleine vorgegebene reelle positive Grösse « 
werden. 
Nachdem dieses festgestellt, wollen wir die im Bereiche: |u|S R, 
durch (2) erhaltene Bestimmung der Function z in eindeutige Zweige zer- 
legen und diese etwas näher untersuchen. 
Wenn P(u) die Discriminante der Gleichung (2) bezeichnet, so 
suchen wir zunächst alle im Bereiche (3) gelegenen Wurzeln der 
Gleichung: 
P(u) = 0 
