ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ADDITIONSTHEOREME BESITZEN, 13 
bezeichnet, so erhalten wir nach dem Satze ©, Gleichung (11), in einer 
gewissen Umgebung der Stelle u = y die verschiedenen Lösungen (1) 
der Gleichung (2) in der Gestalt: 
A) = +, e()-&3(—7), ....| 
MR | (22) 
alu) = à + Pi(u | 
7) 
ausgedrückt, wo die 3»(w— 7) gewöhnliche Potenzreihen von (u — y) 
ohne constantes Glied bedeuten. 
Jede Stelle w — y , die den obigen Vorschriften gemäss gewählt wird, 
ist also für sämmtliche aus (2) hervorgehenden Functionsbestimmungen eine 
reguläre, und die Functionsbestimmungen sind in der Nähe dieser Stelle alle 
von einander verschieden. 
Dieses Resultat bleibt offenbar noch bestehen, wenn die Stelle 
4 = y auf einer Schnittlinie gewählt wird, mit Ausnahme nur der An- 
fangspunkte dieser Linien. Jetzt nehmen wir wieder an, es sei in ganz 
bestimmter Weise die Stelle u = 7 gewählt. Jede der Gleichungen (22) 
ergiebt alsdann ein Element einer analytischen Function, welches über 
den ganzen geschnittenen Bereich analytisch fortgesetzt werden kann 
und dann einen in diesem Bereiche existierenden eindeutigen Zweig 
einer analytischen Function ergiebt, der stets die Gleichung (2) be- 
friedigt. Dies bleibt nämlich auch an den Stellen (20) bestehen, da sie 
ja für diesen Zweig höchstens gewöhnliche ausserwesentlich singuläre, 
wenn sie nicht — was wir als möglich hier einräumen müssen — 
sogar reguläre Stellen sind. 
Es ergeben sich also im ganzen geschnittenen Bereiche aus den 
Elementen (22) + eindeutige Zweige, die überall daselbst der Gleichung (2) 
genügen und sich wie rationale Functionen von u verhalten. 
is bleibt nur noch übrig zu untersuchen, wie sich jene Zweige 
in der Umgebung einer Stelle « (19) verhalten. 
Es sei w- « eine beliebige von den Stellen (19). In einer ge- 
wissen Umgebung dieser Stelle existieren die obigen 4 eindeutigen 
Zweige und sind von einander verschieden. Wenn sich aber u dem 
Werthe « unbegrenzt nähert, so müssen — da u = a eine Stelle der 
Wiederholung ist — mindestens zwei jener Zweige sich ein und dem- 
selben, endlichen oder unendlichen Grenzwerthe nähern. Alle Stellen, 
die in einer gewissen Umgebung der Stelle u = «, also in einem Be- 
reiche: 
VF GI 20 (23) 
