ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ÄDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 15 
Es drängt sich uns jetzt die Frage auf, ob es einen Zweig geben 
kann, der an sämmtlichen Stellen der Wiederholung eindeutig und folglich 
im ganzen ungeschnittenen Bereiche (3), bezw. überall im Endlichen, von 
rationalem Charakter ist. Dass dies unmöglich ist, zeigt der folgende 
Satz. 
8. Wenn z — q(u) eine Function ist, die im Bereiche (3), 
bezw. im eigentlichen Sinne des Wortes, von algebraischem 
Charakter ist, und deren definierende Gleichung (2) von 
höherem als dem ersten Grade ist, so kann die Function 
keinen im ganzen Bereiche eindeutigen Zweig haben. 
Nehmen wir nämlich versuchsweise an, die Function besitze 
einen solchen Zweig, der also nach dem oben Gesagten überall im be- 
treffenden Bereiche von rationalem Charakter und folglich in die Form: 
verano) 
quu) (25) 
ausdrückbar sein müsste, wo q,(4) und g,(4) im selben Bereiche con- 
vergierende gewöhnliche Potenzreihen von # bezeichnen. Der Satz 
wird alsdann dadurch bewiesen, dass wir aus dieser Annahme folgern, 
dass die Gleichung (2) im fraglichen Bereiche reductibel sein müsste, 
was gegen die Definition verstösst. 
Die Versuchsannahme, dass (25) die Gleichung (2) befriedigt, er- 
giebt in der That, dass man im ganzen Bereiche die Identität: 
PG + PG Go +. + PAnG + pad = 0 (26) 
hat, und dass folglich der Ausdruck: Y 
Alp + pz +... pi) 
sich auf die Form: 
(az — G) (re^? + ret? +... r3) (27) 
bringen lässt, wo 
r,— fö Dos T= d" (Pot pid) > 72 = q$ (PG + PAG + PG) > 
ES Fa id Men 
d. h. wo 79, 71, .... 7; gewöhnliche Potenzreihen von w sind, die im 
sanzen Bereiche convergieren. Der Ausdruck (27), gleich Null ge- 
