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setzt, würde also die Gestalt sein, worin sich die Gleichung (2) aus- 
drücken liesse, wenn die Versuchsannahme möglich wäre. Da aber 
diese Gestalt besagt, dass die Gleichung (2) im ganzen Bereiche re- 
ductibel sein sollte, so ist der Satz bewiesen. 
G Wenn die Gleichung (2) durch eine im ganzen Be- 
reiche, wo sie z als Function von algebraischem Charakter 
definiert, eindeutige analytische Functionsbestimmung qu) 
befriedigt ist, so ist die Gleichung vom ersten Grade, und 
q(u) im ganzen Bereiche von rationalem Charakter. 
Denn aus dem Satze $ folgt, dass man in (2) nicht 4 > I haben 
kann. Da also 4 = 1 ist, so ergiebt sich unmittelbar aus (2), dass im 
ganzen Bereiche 
Es pit) 
ips c na) : 
IS AW, W105 Wh 
Für die nächste Untersuchung erinnern wir noch an Folgendes. 
Es sei eine Gleichung (2) von höherem als dem ersten Grade 
gegeben, die im Bereiche (3) eine Function von algebraischem Cha- 
rakter definiert. In dem durch die Schnittlinien aus (3) hervorgehenden 
Bereiche existieren dann 4 eindeutige Zweige dieser Functionsbestim- 
mung, und diese Zweige sind überall im geschnittenen Bereiche von 
rationalem Charakter. 
Von diesen Zweigen kann es nach dem Satze & keinen geben, 
der auch überall im ungeschnittenen Bereiche eindeutig bleibt. Es muss 
also, wenn q,(w) einen dieser Zweige bezeichnet, im Bereiche (3) min- 
destens eine Stelle der Wiederholung geben, durch deren Umkreisung 
gilu) in einen anderen eindeutigen Zweig übergeht. Da andererseits 
im Bereiche (3) die Gleichung (2) nur die 4 eindeutigen Functionszweige: 
ee) (28) 
ergiebt, und da diese, die von einander verschieden sind, beliebig ge- 
ordnet sein kónnen, so dürfen wir sagen, dass die genannte Umkreis- 
ung den Zweig q,(4) in g,(u) überführt. Hieraus ist sofort ersichtlich, 
dass es unter den Zweigen (28) eine Gruppe von zwei oder mehreren 
geben muss, die die Eigenschaft besitzen, dass jeder andere Zweig der 
Gruppe aus g,(#) dadurch hervorgebracht werden kann, dass man ¥,(w) 
längs einer passenden, ganz im Innern des Bereiches (3) gelegenen 
