ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ADDITIONSTHEOREME BESITZEN. 19 
eindeutig ist, so ist sie nach dem Satze & im selben Bereiche von ra- 
tionalem Charakter, w. z. b. w. 
Jetzt kann der folgende wichtige Satz leicht bewiesen werden. 
S. In dem Bereiche, wo die Gleichung (2) eine Func- 
tion von algebraischem Charakter definiert, bilden die aus 
der Gleichung hervorgehenden pr Zweige eine ein- 
zige cyklische Gruppe und sind also in diesem Bereiche 
Zweige einer und derselben analytischen ne 
Wäre nämlich diese Behauptung nieht wahr, so liessen sich die 
genannten eindeutigen Zweige in mehrere cyklische Gruppen: 
pi (u) > gs (u) , ..., GP (a), (32,1) 
qu). qu veu, (32.2) 
CDN OD as (rs 22202 (u), (32,») 
ordnen, wo 
NARE AR go ON REL IP 
Für jede dieser Gruppen giebt es also eine Gleichung 
ee I ea HR, (33,1) 
BEINE Ge aes) 0 (33.2) 
(e — 9) -—g)..-(e—92)-90, (33.v) 
die zu ihrer sämmtlichen Wurzeln die einzelnen Zweige der Gruppe hat. 
Wird die linke Seite einer jeden dieser a, :hungen entwickelt, 
so entsteht eine ganze rationale Function von 2, deren Coefficienten 
symmetrische ganze rationale Functionen von den Zweigen der ent- 
sprechenden eyklischen Gruppe und folglich, dem Satze $ zufolge, Func- 
tionen von 4 sind, die im ganzen betreffenden Bereiche von rationalem 
Charakter sind und die wir in leicht verstándlicher Weise mit 
R® (u) 
