ANALYTISCHE FUNCTIONEN, WELCHE ÄDDITIONSTHEOREME BESITZEN. 21 
R gekennzeichnet ist — wobei die Grösse R, beliebig nahe an R liegen 
kann —, und selbstredend die Gleichung (2) der Definition gemäss im 
Bereiche (3) auch irreductibel ist, so ist es jedoch möglich, dass die 
durch (2) in diesem Bereiche definierten eindeutigen Zweige sich auch 
ausserhalb des Kreises: || = R analytisch fortsetzen lassen, d. h. dass 
die analytische Function von u, von der die Gleichung (2) im Bereiche 
(3) 4 eindeutige Zweige gegeben hat, auch ausserhalb des genannten 
Kreises existieren kann. Hierbei ist möglich, nicht nur dass die Func- 
tion im erweiterten Gebiete eine mehr als 4-deutige Bestimmung erhalten 
kann, sondern auch dass sie dann sogar aufhören kann, von algebraischem 
Charakter zw sein. Wir bestätigen dies durch folgende zwei einfache 
Beispiele. 
Beispiel 1. Es sei im Bereiche: |“ <1 eine gewöhnliche Po- 
tenzreihe pi(u) von u durch die Entwickelung der im genannten Be- 
reiche durch die Aufungsbedingung: p,(0) = +1 eindeutig fixierten 
Quadratwurzel aus (1 — u), also durch 
| j | 
pi(u) = 1 "Uy 0d 2.4 wo A GE =... ws 
definiert. Nehmen wir dann als Gleichung (2): 
g—mp(u)- 0. 
so definiert diese Gleichung im Bereiche: |u|<1, wo sie offenbar irre- 
ductibel ist, z als eindeutige Function von algebraischem Charakter. Der 
hierdurch erhaltene eindeutige Zweig q,(u). d. h. p, (u) , lässt sich aber 
ausserhalb des Kreises: |u| = 1 analytisch fortsetzen und behält auch im 
erweiterten Gebiete seinen algebraischen Charakter; aber die Function 
bekommt dadurch noch einen zweiten eindeutigen Zweig und wird also 
im erweiterten Gebiete eine zweideutige, deren definierende Gleichung 
(2) jetzt 
ule ec 
ist. die offenbar im erweiterten Gebiete irreductibel ist. Dass die letztere 
Gleichung im ursprünglichen Bereiche: wu «1 reductibel ist, ersieht man 
unmittelbar, weil sie dort geschrieben werden kann: 
(2— p(w) (2 + p,(u)) = 0. 
