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Beispiel 2. Unter p,(u) wollen wir jetzt die nur im Bereiche: 
wu < I absolut convergierende gewöhnliche Potenzreihe von 4, worin 
1 
e 1-u 
entwickelbar ist, verstehen. Im genannten Bereiche wird dann durch 
die Gleichung 
2-plu)=V, 
die offenbar irreductibel ist, eine eindeutige Function von algebraischem 
Charakter definiert, die sich auch hier ausserhalb des Gebietes fort- 
setzen lässt und eindeutig bleibt, aber dann ihren algebraischen Charakter 
verliert. 
Die obigen Bemerkungen geben zu folgenden Betrachtungen 
Anlass. Eine analytische Function q(u) kann so beschaffen sein, dass 
man schrittweise in weiteren und weiteren Bereichen für sie definie- 
rende Gleichungen von der Form (2) erhalten kann. Der Grad einer 
solchen Gleichung in Bezug auf 2 kann um so höher sein, je weiter 
der entsprechende Bereich ist, und entschieden nie niedriger für einen 
grösseren sein als für einen kleineren. Dies rührt natürlich davon her, 
dass die für einen kleineren Bereich erhaltene definierende Gleichung 
(2) nicht alle Zweige der Function zu geben braucht, und dass die fol- 
senden definierenden Gleichungen (2) neue Zweige zu den durch die 
vorhergehenden schon erhaltenen hinzufügen können. (Siehe Bei- 
spiel 1). 
Fügen wir noch die Annahme hinzu, dass man die Reihe von 
definierenden Gleichungen (2) unbeschränkt fortsetzen und dadurch ent- 
sprechende Bereiche von der Form (3) und von beliebig grossem Um- 
fang erhalten kann. 
Wenn dann mit unbegrenzt wachsendem Bereiche der Grad der 
definierenden Gleichung über jede Zahl hinaus wächst, so ist die Func- 
tion unendlich vieldeutig. Giebt es dagegen eine endliche ganze posi- 
tive Zahl N, die nie kleiner ist als der Grad einer jeden der definie- 
renden Gleichungen (2), so ist die Function endlich vieldeutig und kann 
höchstens N verschiedene eindeutige Zweige haben. Andererseits, wenn 
die Function q{u) genau n-deutig ist, so muss es eine endliche, wenn 
auch sehr grosse, reelle positive Zahl R’ geben, so beschaffen, dass 
durch analytische Fortsetzungen im Bereiche: | 5| < R’ alle übrigen 
